Bài tập 16, § 3

Cho $f$ là một hàm thực khả vi $n$ lần trên $I = ]-1,+1[$, và sao cho $|f(x)| \leq 1$ trên khoảng này.

a) Chứng minh rằng nếu $m_k(\lambda)$ ký hiệu giá trị nhỏ nhất của $|f^{(k)}(x)|$ trên một khoảng có độ dài $\lambda$ được chứa trong $I$ thì ta có

(Chú ý rằng nếu khoảng có độ dài $\lambda$ được phân chia thành ba khoảng có độ dài $\alpha, \beta, \gamma$, thì ta có

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một số $\mu_n$ chỉ phụ thuộc vào số nguyên $n$ sao cho nếu $|f'(0)| \geq \mu_n$, thì đạo hàm $f^{(n)}(x)$ triệt tiêu tại ít nhất $n-1$ điểm phân biệt của $I$ (chứng minh bằng quy nạp theo $k$ rằng $f^{(k)}$ triệt tiêu ít nhất $k-1$ lần trên $I$).