Exercice 18, § 3

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 50

Soit $(a_n)$ une suite quelconque de nombres complexes. On pose, pour tout $n \geq 0$ , $s_n^{(0)} = a_n$ , et on définit par récurrence, pour $k \geq 0$ ,

s_n^{(k+1)} = s_0^{(k)} + s_1^{(k)} + \cdots + s_n^{(k)}.

a) Prouver la « formule de Taylor pour les suites » : pour tout entier

\left| s_n^{(k)} - s_n^{(k)} - h . s_n^{(k-1)} - \binom{h}{2} . s_n^{(k-2)} - \cdots - \binom{h}{k-1} . s_n^{(1)} \right| \leq \binom{h}{k} \sup_{0 \leq j < h-1} |a_{n+j}|

(procéder par récurrence sur $k$ ).

b) On suppose qu’il existe un nombre C tel que $|na_n| \leq C$ pour tout $n$ , et que la suite $(s^{(2)}/n)$ , formée des moyennes arithmétiques $1(s_0 + \cdots + s_{n-1})/n$ des sommes partielles $s_n = a_0 + \cdots + a_{n-1}$ , tend vers une limite $\sigma$ . Montrer que la série de terme général $a_n$ est convergente et a pour somme $\sigma$ (* théorème taubérien de Hardy-Littlewood *). (Ecrire

s_n = \frac{1}{h} (s^{(2)}_{n+h} - s^{(2)}) + \frac{h-1}{2} r_n

où

|r_n|

est majoré à l’aide de l’inégalité

|na_n| \leq C

, et

h

est choisi convenablement en fonction de

n

Solution

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