Bài tập 18, § 3

Cho $(a_n)_{n \geq 0}$ là một dãy số phức tùy ý. Với mỗi $n \geq 0$ đặt $s_n^{(0)} = a_n$, và, bằng quy nạp, với $k \geq 0$, định nghĩa

(a) Chứng minh "công thức Taylor cho các dãy": với mỗi số nguyên (tiến hành bằng quy nạp theo $k$).

(b) Giả sử tồn tại một số $C$ sao cho $|n a_n| \leq C$ với mọi $n$, và dãy $(s^{(2)}/n)$ được tạo thành bởi các trung bình số học $(s_0 + \cdots + s_{n-1})/n$ của các tổng riêng phần $s_n = a_0 + \cdots + a_{n-1}$ tiến tới một giới hạn $\sigma$. Chứng minh rằng chuỗi có số hạng tổng quát $a_n$ là hội tụ và có tổng bằng $\sigma$ ("định lý Tauber Hardy-Littlewood"). (Viết

trong đó $|r_n|$ bị chặn trên nhờ bất đẳng thức $|n a_n| \leq C$, và $h$ được chọn thích hợp như một hàm của $n$.)