Exercice 6, § 3

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 46

Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle ouvert I \subset \mathbf{R}, prenant ses valeurs dans un espace normé E. On pose \Delta^p f(x; h_1) = f(x + h_1) - f(x), puis, par récurrence,

\Delta^p f(x; h_1, h_2, \ldots, h_p) = \Delta^{p-1} f(x + h_p; h_1, \ldots, h_{p-1}) - \Delta^{p-1} f(x; h_1, \ldots, h_{p-1});

ces fonctions sont donc définies, pour chaque x \in I, lorsque les h_i sont assez petits.

a) Si la fonction $f$ est $n$ fois dérivable au point $x$ (et par suite $n - 1$ fois dérivable dans un voisinage de $x$ ), on a

\lim_{(h_1, \ldots, h_n) \to (0, \ldots, 0)} \frac{\Delta^n f(x; h_1, \ldots, h_n)}{h_1 h_2 \ldots h_n} = f^{(n)}(x)

raisonner par récurrence sur

n

, en utilisant le th. des accroissements finis).

b) Si $f$ est $n$ fois dérivable dans l’intervalle $I$ , on a

\| \Delta^n f(x; h_1, \ldots, h_n) - f^{(n)}(x_0) h_1 h_2 \ldots h_n \| \\ \leq |h_1 h_2 \ldots h_n| \sup \| f^{(n)}(x + t_1 h_1 + \cdots + t_n h_n) - f^{(n)}(x_0) \|

la borne supérieure étant prise dans l’ensemble des

(t_i)

tels que

0 \leq t_i \leq 1

pour

1 \leq i \leq n

(même méthode).

c) Si $f$ est une fonction numérique $n$ fois dérivable dans $I$ , on a

\Delta^n f(x; h_1, h_2, \ldots, h_n) = h_1 h_2 \ldots h_n f^{(n)}(x + \theta_1 h_1 + \cdots + \theta_n h_n)

les nombres

\theta_i

appartenant à

[0, 1]

(même méthode, en utilisant I, p. 31, corollaire).

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.