Bài tập 6, § 3

Hàm số một biến thực, I

Cho $\mathbf{f}$ là một hàm vectơ được định nghĩa trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$ , nhận giá trị trong một không gian định chuẩn E.

Đặt $\Delta \mathbf{f}(x; h_1) = \mathbf{f}(x + h_1) - \mathbf{f}(x)$ , và sau đó, bằng quy nạp, định nghĩa

\Delta^p \mathbf{f}(x; h_1, h_2, \ldots, h_{p-1}, h_p) = \Delta^{p-1} \mathbf{f}(x + h_p; h_1, \ldots, h_{p-1}) - \Delta^{p-1} \mathbf{f}(x; h_1, \ldots, h_{p-1});

các hàm này được định nghĩa với mỗi $x \in I$ khi các $h_i$ đủ nhỏ.

a) Nếu hàm $f$ khả vi $n$ lần tại điểm $x$ (và do đó khả vi $n - 1$ lần trong một lân cận của $x$ ), ta có

\lim_{(h_1, \ldots, h_n) \to (0, \ldots, 0)} \frac{\Delta^n f(x; h_1, \ldots, h_n)}{h_1 h_2 \ldots h_n} = f^{(n)}(x)

(lập luận bằng quy nạp theo

n

, sử dụng định lý giá trị trung bình).

b) Nếu $f$ khả vi $n$ lần trên khoảng $I$ , ta có

\| \Delta^n f(x; h_1, \ldots, h_n) - f^{(n)}(x_0) h_1 h_2 \ldots h_n \| \\ \leq |h_1 h_2 \ldots h_n| \sup \| f^{(n)}(x + t_1 h_1 + \cdots + t_n h_n) - f^{(n)}(x_0) \|

cận trên được lấy trên tập hợp các

(t_i)

sao cho

0 \leq t_i \leq 1

với

1 \leq i \leq n

(cùng phương pháp).

c) Nếu $f$ là một hàm thực khả vi $n$ lần trên $I$ , ta có

\Delta^n f(x; h_1, h_2, \ldots, h_n) = h_1 h_2 \ldots h_n f^{(n)}(x + \theta_1 h_1 + \cdots + \theta_n h_n)

các số

\theta_i

thuộc

[0, 1]

(cùng phương pháp, sử dụng I, p. 22, hệ quả).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.