Exercice 7, § 3

Soient $f$ une fonction numérique finie $n$ fois dérivable au point $x_0$, $g$ une fonction vectorielle $n$ fois dérivable au point $y_0 = f(x_0)$. Soient

les développements de Taylor d’ordre $n$ de $f$ et $g$ aux points $x_0$ et $y_0$ respectivement. Montrer que la somme des $n + 1$ termes du développement de Taylor d’ordre $n$ de la fonction composée $g \circ f$ au point $x_0$ est égal à la somme des termes de degré $\leq n$ dans le polynôme En déduire les deux formules suivantes: a) la somme étant étendue à tous les systèmes d’entiers positifs $(m_i)_{1 \leq i \leq q}$ tels que et $p$ désignant la somme $m_1 + m_2 + \cdots + m_q$. b)