Bài tập 7, § 3

Cho $f$ là một hàm thực hữu hạn khả vi $n$ lần tại điểm $x_0$, và $g$ là một hàm vectơ khả vi $n$ lần tại điểm $y_0 = f(x_0)$. Giả sử

là các khai triển Taylor cấp $n$ của $f$ và $g$ tại các điểm $x_0$ và $y_0$ tương ứng. Chứng minh rằng tổng của $n+1$ số hạng của khai triển Taylor cấp $n$ của hàm hợp $g \circ f$ tại điểm $x_0$ bằng tổng của các số hạng có bậc $\leq n$ trong đa thức Suy ra hai công thức sau:

a)

tổng được lấy trên tất cả các hệ các số nguyên dương $(m_i)_{1 \leq i \leq q}$ sao cho trong đó $p$ chỉ tổng $m_1 + m_2 + \cdots + m_q$.

b)