Exercice 10, § 4

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 52

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit $f$ une fonction numérique finie définie dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$ , telle que

f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{1}{2}(f(x) + f(y))

quels que soient

x, y

dans

I

. Montrer que, si

f

est bornée supérieurement dans un intervalle ouvert

]a, b[

contenu dans

I

f

est convexe dans

I

(on montrera d’abord que

f

est bornée supérieurement dans tout intervalle compact contenu dans

I

, puis que

f

est continue en tout point intérieur à

I

Solution

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