Bài tập 10, § 4

Cho $f$ là một hàm thực hữu hạn xác định trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$, sao cho

5 Nói cách khác, $\lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - (\alpha x + \beta) \right) = 0$.

với mọi $x, y$ trong $I$. Chứng minh rằng nếu $f$ bị chặn trên bởi một khoảng mở $]a, b[$ được chứa trong $I$, thì $f$ là hàm lồi trên $I$ (trước hết chứng minh rằng $f$ bị chặn trên trên mọi khoảng compact được chứa trong $I$, sau đó chứng minh rằng $f$ liên tục tại mọi điểm trong của $I$).

J 11) Cho $f$ là một hàm liên tục trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$, có đạo hàm phải hữu hạn tại mọi điểm của $I$. Nếu với mọi $x \in I$ và mọi $y \in I$ sao cho $y > x$, điểm $M_y = (y, f(y))$ nằm phía trên tiếp tuyến nửa phải của đồ thị của $f$ tại điểm $M_x = (x, f(x))$, chứng minh rằng $f$ là hàm lồi trên $I$ (dùng định lý giá trị trung bình chứng minh rằng

Cho một ví dụ về một hàm không lồi, có đạo hàm phải hữu hạn ở mọi nơi, và sao cho với mọi $x \in I$ tồn tại một số $h_x > 0$ phụ thuộc vào $x$ sao cho $M_y$ nằm phía trên tiếp tuyến nửa phải tại điểm $M_x$ đối với mọi $y$ sao cho $x \leq y \leq x + h_x$. Tuy nhiên, điều kiện cuối cùng này vẫn đủ để $f$ là hàm lồi, nếu giả sử thêm rằng $f$ khả vi trên $I$ (dùng I, p. 12, hệ quả).

J 12) Cho $f$ là một hàm thực liên tục trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$; giả sử rằng với mọi cặp $(a, b)$ các điểm của $I$ sao cho $a < b$, đồ thị của $f$ nằm hoàn toàn hoặc phía trên hoặc phía dưới đoạn thẳng $M_aM_b$ trên khoảng $[a, b]$. Chứng minh rằng $f$ là hàm lồi trên toàn bộ $I$ hoặc là hàm lõm trên toàn bộ $I$ (nếu trong $]a, b[$ có một điểm $c$ sao cho $M_c$ nằm hẳn phía trên đoạn thẳng $M_aM_b$, chứng minh rằng với mọi $x \in I$ sao cho $x > a$, đồ thị của $f$ nằm phía trên đoạn thẳng $M_aM_x$ trên khoảng $[a, x]$).

13) Cho $f$ là một hàm thực khả vi trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$. Giả sử rằng với mọi cặp $(a, b)$ các điểm của $I$ sao cho $a < b$ tồn tại một điểm duy nhất $c \in ]a, b[$ sao cho $f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$; hãy chỉ ra rằng $f$ là lồi nghiêm ngặt trên $I$ hoặc lõm nghiêm ngặt trên $I$ (chỉ ra rằng $f'$ là đơn điệu nghiêm ngặt trên $I$).

14) Cho $f$ là một hàm thực lồi và đơn điệu nghiêm ngặt trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$; cho $g$ là hàm nghịch đảo của $f$ (được xác định trên khoảng $f(I)$). Hãy chỉ ra rằng nếu $f$ giảm (tương ứng, tăng) trên $I$, thì $g$ là lồi (tương ứng, lõm) trên $f(I)$.

15) Cho $I$ là một khoảng được chứa trong $]0, +\infty[$; hãy chỉ ra rằng nếu $f(1/x)$ là lồi trên $I$ thì $x f(x)$ cũng vậy, và ngược lại.

\* 16) Cho $f$ là một hàm lồi dương trên $]0, +\infty[$, và $a, b$ là hai số thực tùy ý. Hãy chỉ ra rằng hàm $x^a f(x^{-b})$ là lồi trên $]0, +\infty[$ trong các trường hợp sau:

1 $a = \frac{1}{2}(b + 1), \ |b| \geq 1;$

2 $x^a f(x^{-b})$ là tăng, $a(b - a) \geq 0,\ a \geq \frac{1}{2}(b + 1);$

3 $x^a f(x^{-b})$ là giảm, $a(b - a) \geq 0,\ a \leq \frac{1}{2}(b + 1).$

Với cùng các giả thiết trên $f$, hãy chỉ ra rằng $e^{x/2} f(e^{-x})$ là lồi (dùng bài tập 2 của I, p. 45).

17) Cho $f$ và $g$ là hai hàm lồi dương trên một khoảng $I = [a, b]$: giả sử rằng tồn tại một số $c \in I$ sao cho trên mỗi khoảng $[a, c]$ và $[c, b]$ các hàm $f$ và $g$ biến thiên cùng chiều. Hãy chỉ ra rằng tích $fg$ là lồi trên $I$.

18) Cho $f$ là một hàm lồi trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ và $g$ là một hàm lồi tăng trên một khoảng chứa $f(I)$; hãy chỉ ra rằng $g \circ f$ là lồi trên $I$.

¶ 19) Cho $f$ và $g$ là hai hàm thực hữu hạn, $f$ được xác định và liên tục trên một khoảng $I$, và $g$ được xác định và liên tục trên $\mathbf{R}$. Giả sử rằng với mọi cặp $(\lambda, \mu)$ các số thực, hàm $g(f(x) + \lambda x + \mu)$ là lồi trên $I$. a) Chứng minh rằng $g$ là lồi và đơn điệu trên $\mathbf{R}$. b) Nếu $g$ tăng (tương ứng giảm) trên $\mathbf{R}$, chứng minh rằng $f$ là lồi (tương ứng lõm) trên $I$ (dùng mệnh đề 7).

20) Chứng minh rằng tập hợp $\mathscr{K}$ các hàm lồi trên một khoảng $I \neq \mathbf{R}$ là một dàn đối với cấp " $f(x) \leq g(x)$ với mọi $x \in I$" (Lý thuyết tập hợp, III, p. 146). Cho một ví dụ về hai hàm lồi $f, g$ trên $I$ sao cho cận dưới lớn nhất của chúng trong $\mathscr{K}$ nhận một giá trị khác với $\inf(f(x), g(x))$ tại một số điểm. Cho một ví dụ về một họ vô hạn $(f_\alpha)$ các hàm trong $\mathscr{K}$ sao cho $\inf_{\alpha} f_\alpha(x)$ là hữu hạn tại mọi điểm $x \in I$ và tuy vậy không có hàm nào trong $\mathscr{K}$ nhỏ hơn mọi $f_\alpha$.

21) Cho $f$ là một hàm thực hữu hạn, nửa liên tục trên trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$. Để $f$ là lồi nghiêm ngặt trên $I$ thì điều kiện cần và đủ là không có đường thẳng nào địa phương nằm phía trên đồ thị $G$ của $f$ tại một điểm của $G$.

22) Cho $f_1, \ldots, f_n$ là các hàm lồi liên tục trên một khoảng compact $I \subset \mathbf{R}$; giả sử rằng với mọi $x \in I$ ta có $\sup(f_j(x)) \geq 0$. Chứng minh rằng tồn tại $n$ số $\alpha_j \geq 0$ sao cho $\sum_{j=1}^n \alpha_j = 1$ và $\sum_{j=1}^n \alpha_j f_j(x) \geq 0$ trên $I$. (Trước hết xét trường hợp $n = 2$, xét một điểm $x_0$ tại đó bao trên $\sup(f_1, f_2)$ đạt giá trị nhỏ nhất của nó, khi $x_0$ là điểm trong của $I$ hãy xác định $\alpha_1$ sao cho đạo hàm trái của $\alpha_1 f_1 + (1 - \alpha_1) f_2$ bằng không tại $x_0$. Chuyển sang trường hợp tổng quát bằng quy nạp theo $n$; dùng giả thiết quy nạp cho các hạn chế của $f_1, \ldots, f_{n-1}$ lên khoảng compact nơi $f_n(x) \leq 0$.)

23) Cho $f$ là một hàm thực liên tục trên một khoảng compact $I \subset \mathbf{R}$; trong số các hàm $g \leq f$ lồi trên $I$ tồn tại một hàm, $g_0$, lớn hơn tất cả các hàm khác. Gọi $F \subset I$ là tập hợp các $x \in I$ sao cho $g_0(x) = f(x)$; hãy chỉ ra rằng $F$ không rỗng và trên mỗi khoảng mở kề với $F$ hàm $g_0$ bằng một hàm tuyến tính affine (lập luận bằng phản chứng).

24) Cho $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ với các hệ số thực mà tất cả các nghiệm của nó đều thực và được chứa trong khoảng $[-1, 1]$. Cho $k$ là một số nguyên sao cho $1 \leq k \leq n$. Hãy chỉ ra rằng hàm hữu tỉ

là tăng trên mọi khoảng của $\mathbf{R}$ mà trên đó nó được xác định: nếu $c_1 < c_2 < \cdots < c_r$ là các cực của nó (được chứa trong $[-1, 1]$), thì $f$ là lồi với $x < c_1$ và lõm với $x > c_r$. Suy ra rằng khi $a$ chạy qua $[-1, 1]$, độ dài của khoảng lớn nhất chứa các nghiệm của đạo hàm $k^{th}$ của $(x-a)P(x)$ đạt giá trị lớn nhất của nó khi $a = 1$ hoặc $a = -1$.

25) Người ta nói rằng một hàm thực $f$ xác định trên $[0, +\infty[$ là siêu cộng tính nếu có $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$ với $x \geq 0, y \geq 0$, và nếu $f(0) = 0$. a) Cho các ví dụ về các hàm siêu cộng tính không liên tục.

b) Chỉ ra rằng mọi hàm lồi $f$ trên $[0, +\infty[$ sao cho $f(0) = 0$ đều là siêu cộng tính.

c) Nếu $f_1$ và $f_2$ là các hàm siêu cộng tính thì $\inf(f_1, f_2)$ cũng là siêu cộng tính; dùng điều này, hãy đưa ra các ví dụ về các hàm siêu cộng tính liên tục không lồi.

d) Nếu $f$ liên tục và $\geqslant 0$ trên một khoảng $[0, a]$ ($a > 0$), sao cho $f(0) = 0$ và $f(x/n) \leqslant f(x)/n$ với mỗi số nguyên $n \geqslant 1$, hãy chỉ ra rằng $f$ có đạo hàm phải tại điểm 0 (lập luận bằng phản chứng). Đặc biệt, mọi hàm siêu cộng tính liên tục mà $\geqslant 0$ đều có đạo hàm phải tại điểm 0.