Exercice 16, § 4

Soient $f$ une fonction positive convexe dans $]0, +\infty[$, $a$ et $b$ deux nombres réels quelconques. Montrer que la fonction $x^a f(x^{-b})$ est convexe dans $]0, +\infty[$, dans les cas suivants: 1° $a = \frac{1}{2}(b+1)$, $|b| \geqslant 1$, 2° $x^a f(x^{-b})$ croissante, $a(b-a) \geqslant 0$, $a \geqslant \frac{1}{2}(b+1)$; 3° $x^a f(x^{-b})$ décroissante, $a(b-a) \geqslant 0$, $a \leqslant \frac{1}{2}(b+1)$. Dans les mêmes hypothèses sur $f$, montrer que $e^{x/2} f(e^{-x})$ est convexe (utiliser l’exerc. 2 de I, p. 51). \*