Bài tập 16, § 4

Cho $f$ là một hàm lồi dương trong $]0, +\infty[$, $a$ và $b$ là hai số thực tùy ý. Bây giờ chứng minh rằng hàm $x^a f(x^{-b})$ là lồi trong $]0, +\infty[$, trong các trường hợp sau: 1° $a = \frac{1}{2}(b+1)$, $|b| \geqslant 1$, 2° $x^a f(x^{-b})$ tăng, $a(b-a) \geqslant 0$, $a \geqslant \frac{1}{2}(b+1)$; 3° $x^a f(x^{-b})$ giảm, $a(b-a) \geqslant 0$, $a \leqslant \frac{1}{2}(b+1)$. Với cùng các giả thiết trên $f$, bây giờ chứng minh rằng $e^{x/2} f(e^{-x})$ là lồi (sử dụng Bài tập 2 của I, p. 51). \*