Exercice 2, § 4

Montrer que toute fonction $f$ convexe dans un intervalle compact $I \subset \mathbf{R}$ est limite d’une suite décroissante uniformément convergente de fonctions convexes dans $I$ admettant une dérivée seconde dans $I$ (considérer d’abord la fonction $(x-a)^+$, et approcher $f$ par la somme d’une fonction linéaire affine et d’une combinaison linéaire $\sum_j c_j(x-a_j)^+$ à coefficients $c_j \geq 0$).