Exercice 25, § 4

On dit qu’une fonction numérique f définie dans ]0, +∞[ est suradditive si l’on a f(x + y) ≥ f(x) + f(y) pour x ≥ 0, y ≥ 0, et f(0) = 0. a) Donner des exemples de fonctions suradditives discontinues. b) Montrer que toute fonction f convexe dans ]0, +∞[ et telle que f(0) = 0 est suradditive. c) Si f₁ et f₂ sont suradditives, il en est de même de inf (f₁, f₂); en déduire des exemples de fonctions continues suradditives et non convexes. d) Si f est continue et ≥0 dans un intervalle [0, a] (a > 0), telle que f(0) = 0 et f(x/n) ≤ f(x)/n pour tout entier n ≥ 1, montrer que f admet une dérivée à droite au point 0 (raisonner par l’absurde). En particulier toute fonction continue suradditive et ≥0 admet une dérivée à droite au point 0.