Bài tập 25, § 4

Một hàm số f được xác định trên ]0, +∞[ được gọi là siêu cộng tính nếu ta có f(x + y) ≥ f(x) + f(y) với x ≥ 0, y ≥ 0, và f(0) = 0. (a) Hãy cho các ví dụ về các hàm siêu cộng tính gián đoạn. (b) Chứng minh rằng mọi hàm f lồi trên ]0, +∞[ và thỏa mãn f(0) = 0 đều là siêu cộng tính. (c) Nếu f₁ và f₂ là siêu cộng tính, điều tương tự cũng đúng đối với inf (f₁, f₂); suy ra các ví dụ về các hàm siêu cộng tính liên tục không lồi. (d) Nếu f là liên tục và ≥0 trên một khoảng [0, a] (a > 0), sao cho f(0) = 0 và f(x/n) ≤ f(x)/n với mọi số nguyên n ≥ 1, chứng minh rằng f có một đạo hàm phải tại điểm 0 (lập luận bằng phản chứng). Đặc biệt, mọi hàm siêu cộng tính liên tục và ≥0 đều có một đạo hàm phải tại điểm 0.