Exercice 3, § 4

Soit $f$ une fonction convexe dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$. a) Montrer que si $f$ n’est pas constante, elle ne peut atteindre sa borne supérieure en un point intérieur à $I$. b) Montrer que si $I$ est relativement compact dans $\mathbf{R}$, $f$ est minorée dans $I$. c) Montrer que si $I = \mathbf{R}$ et si $f$ n’est pas constante, $f$ n’est pas majorée dans $I$.