Exercice 7, § 4

Soit $f$ une fonction convexe dans l’intervalle $]a, b[$ où $a \geq 0$; montrer que dans cet intervalle, la fonction $x \mapsto f(x) - x f'(x)$ (* ordonnée à l’origine *) de la demi-tangente à droite au point $x$ au graphe de $f$ est décroissante (strictement décroissante si $f$ est strictement convexe). En déduire que: a) Si $f$ admet une limite à droite finie au point $a$, $(x-a)f'_a(x)$ a une limite à droite égale à 0 en ce point. b) Dans $]a, b[$, ou bien $f(x)/x$ est croissante, ou bien $f(x)/x$ est décroissante, ou bien il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(x)/x$ soit décroissante dans $]a, c[$ et croissante dans $]c, b[$. c) On suppose que $b = +\infty$; montrer que, si

est finie, il en est de même de $\alpha = \lim_{x \to +\infty} f(x)/x$, que la droite $y = \alpha x + \beta$ est asymptote¹ au graphe de $f$, et est située au-dessous de ce graphe (strictement au-dessous si $f$ est strictement convexe).