Bài tập 7, § 4

Cho $f$ là một hàm lồi trên khoảng $]a,\ b[$ trong đó $a \geq 0$; hãy chứng minh rằng trên khoảng này hàm $x \mapsto f(x) - x f'(x)$ (‘‘tung độ tại gốc’’ của tiếp tuyến nửa phải tại điểm $x$ của đồ thị của $f$) là giảm (giảm nghiêm ngặt nếu $f$ là hàm lồi nghiêm ngặt).

Suy ra rằng:

a) Nếu $f$ nhận một giới hạn phải hữu hạn tại điểm $a$ thì $(x-a)f'_d(x)$ có một giới hạn phải bằng 0 tại điểm này.

b) Trên $]a,\ b[$ hoặc $f(x)/x$ là tăng, hoặc $f(x)/x$ là giảm, hoặc tồn tại một $c \in ]a,\ b[$ sao cho $f(x)/x$ là giảm trên $]a,\ c[$ và tăng trên $]c,\ b[$.

c) Giả sử $b = +\infty$: hãy chứng minh rằng nếu

là hữu hạn, thì $\alpha = \lim_{x \to +\infty} f(x)/x$ cũng hữu hạn, và đường thẳng $y = \alpha x + \beta$ là tiệm cận $^5$ với đồ thị của $f$, và nằm bên dưới đồ thị này (nằm bên dưới nghiêm ngặt nếu $f$ là hàm lồi nghiêm ngặt).