Exercice 8, § 4

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 52

Soit $f$ une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$ . Pour que $f$ soit convexe dans $I$ , il faut et il suffit que, pour tout $x \in I$ , on ait

\limsup_{h \to 0, h > 0} \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} \geqslant 0.

(Démontrer d’abord que, pour tout

\varepsilon > 0

f(x) + \varepsilon x^2

est convexe, en utilisant la prop. 9 de I, p. 39).

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.