Bài tập 8, § 4

Cho $f$ là một hàm thực hữu hạn, nửa liên tục trên trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$. Khi đó $f$ là lồi khi và chỉ khi $\limsup_{h \to 0, h \neq 0} \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} \geq 0$ với mọi $x \in I$. (Trước hết chứng minh rằng, với mọi $\varepsilon > 0$ hàm $f(x) + \varepsilon x^2$ là lồi, sử dụng Mệnh đề 9 của I, p. 31.)