Exercice 1, § 1

Soit $(f_\alpha)$ un ensemble de fonctions numériques, définies dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$, admettant chacune une primitive stricte dans $I$, et formant un ensemble ordonné filtrant pour la relation $\leqslant$. Soit $f$ l’enveloppe supérieure de la famille $(f_\alpha)$; on suppose que $f$ admet une primitive stricte dans $I$. Montrer que, si $g_\alpha$ (resp. $g$) est la primitive de $f_\alpha$ (resp. $f$) qui s’annule en un point $x_0 \in I$, $g$ est l’enveloppe supérieure de la famille $(g_\alpha)$ dans l’intersection $I \cap \{x_0, +\infty\}$ et son enveloppe inférieure dans l’intersection $I \cap ]-\infty, x_0]$. (En se bornant au premier de ces intervalles, montrer que si $u$ est l’enveloppe supérieure de $(g_\alpha)$ dans $I \cap \{x_0, +\infty\}$, on a $u(x+h) - u(x) \leqslant g(x+h) - g(x)$ pour $h > 0$; prouver ensuite que, pour tout $\alpha$, on a $u(x+h) - u(x) \geqslant g_\alpha(x+h) - g_\alpha(x)$, et conclure de cette dernière inégalité que $\liminf_{h \to 0} (u(x+h) - u(x))/h \geqslant f(x)$; en déduire la proposition.)

Donner en exemple de suite croissante $(f_n)$ de fonctions continues dans un intervalle $I$, uniformément bornées, mais dont l’enveloppe supérieure n’admet pas de primitive stricte dans $I$.