Bài tập 1, § 1

Cho $(f_\alpha)$ là một tập hợp các hàm thực, được xác định trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$, mỗi hàm đều có một nguyên thủy ngặt trên $I$, và tạo thành một tập có hướng đối với quan hệ $\leq$. Gọi $f$ là bao trên của họ $(f_\alpha)$; giả sử rằng $f$ có một nguyên thủy ngặt trên $I$. Chứng minh rằng nếu $g_\alpha$ (tương ứng $g$) là nguyên thủy của $f_\alpha$ (tương ứng $f$) triệt tiêu tại một điểm $x_0 \in I$, thì $g$ là bao trên của họ $(g_\alpha)$ trên giao $I \cap [x_0, +\infty[$ và là bao dưới của họ đó trên giao $I \cap ]-\infty, x_0]$. (Hạn chế vào khoảng thứ nhất trong hai khoảng này, chứng minh rằng nếu $u$ là bao trên của $(g_\alpha)$ trên $I \cap [x_0, +\infty[$ thì ta có $u(x+h) - u(x) \leq g(x+h) - g(x)$ với $h > 0$; sau đó chứng minh rằng, với mọi $\alpha$, ta có $u(x+h) - u(x) \geq g_\alpha(x+h) - g_\alpha(x)$, và kết luận từ bất đẳng thức cuối cùng này rằng $\liminf_{h \to 0^+} (u(x+h) - u(x))/h \geq f(x)$; suy ra mệnh đề từ điều này.)

Cho một ví dụ về một dãy tăng $(f_n)$ các hàm liên tục trên một khoảng $I$ được bị chặn đều, nhưng bao trên của chúng không có một nguyên thủy ngặt trên $I$.