Exercice 10, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 30

Soit $f$ une fonction réglée dans $(a, b)$ , prenant ses valeurs dans $\mathbf{E}$ , $g$ une fonction réglée dans $[a, c]$ ( $c > b$ ), prenant ses valeurs dans $\mathbf{F}$ , et soit $(x, y) \mapsto [x, y]$ une application bilinéaire continue de $\mathbf{E} \times \mathbf{F}$ dans $\mathbf{G}$ ( $\mathbf{E}$ , $\mathbf{F}$ , $\mathbf{G}$ espaces normés complets). Montrer que

\lim_{h \to 0, h > 0} \int_a^b [f(t) \cdot g(t + h)] dt = \int_a^b [f(t) \cdot g(t)] dt

(se ramener au cas où

f

est une fonction en escalier).

Solution

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