Exercice 12, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 30

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

On dit qu’une suite $(x_n)$ de nombres réels appartenant à l’intervalle $(0, 1)$ est également répartie dans cet intervalle si, pour tout couple de nombres $\alpha, \beta$ tels que $0 \leq \alpha \leq \beta \leq 1$ on a, en désignant par $v_n(\alpha, \beta)$ le nombre des indices $i$ tels que $1 \leq i \leq n$ et $\alpha \leq x_i \leq \beta$

\lim_{n \to \infty} \frac{v_n(\alpha, \beta)}{n} = \beta - \alpha.

Montrer que, si la suite

(x_n)

est également répartie, et si

f

est une fonction réglée dans

(0, 1)

, on a

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) = \int_0^1 f(t) dt

(se ramener au cas où

f

est une fonction en escalier). Réciproque. Montrer que, pour que la suite

(x_n)

soit également répartie, il suffit que la relation (2) ait lieu pour toute fonction numérique

f

appartenant à un ensemble partout dense dans l’espace des fonctions numériques continues dans

[0, 1]

, muni de la topologie de la convergence uniforme.

Solution

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