Bài tập 12, § 1

Người ta nói rằng một dãy $(x_n)$ các số thực trong khoảng $[0,\ 1]$ là phân bố đều trong khoảng này nếu

với mọi cặp số $\alpha,\ \beta$ sao cho $0 \leq \alpha \leq \beta \leq 1$, trong đó $\nu_n(\alpha, \beta)$ biểu thị số các chỉ số $i$ sao cho $1 \leq i \leq n$ và $\alpha \leq x_i \leq \beta$.

Chứng minh rằng nếu dãy $(x_n)$ là phân bố đều và nếu $\mathbf{f}$ là một hàm điều chỉnh trên $[0,\ 1]$, thì ta có

(rút gọn về trường hợp $\mathbf{f}$ là một hàm bậc thang). Đảo lại.

Chứng minh rằng để dãy $(x_n)$ là phân bố đều thì chỉ cần quan hệ (2) đúng với mọi hàm thực $f$ thuộc một tập hợp trù mật trong không gian các hàm liên tục thực trên $[0,\ 1]$ được trang bị tôpô của sự hội tụ đều.