Exercice 16, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 31

Soient $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle réglée dans $I = [a, b] \subset \mathbf{R}$ , $\mathbf{u}$ une primitive de $\mathbf{f}$ dans $I$ , $D$ un ensemble convexe fermé contenant $\mathbf{u}(I)$ . Montrer que si $g$ est une fonction numérique monotone dans $I$ , on a

\int_a^b \mathbf{f}(t)g(t) \, dt = (\mathbf{u}(b) - \mathbf{c})g(b) + (\mathbf{c} - \mathbf{u}(a))g(a)

où e appartient à D (se ramener au cas où g est une fonction en escalier monotone). En déduire que si f est une fonction numérique réglée dans I, il existe c ∈ I tel que

\int_a^b f(t)g(t)\,dt = g(a) \int_a^c f(t)\,dt + g(b) \int_c^b f(t)\,dt

(« deuxième théorème de la moyenne »).

Solution

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