Bài tập 16, § 1

Cho $\mathbf{f}$ là một hàm vectơ điều chỉnh trên $I = [a, b] \subset \mathbf{R}$, cho $\mathbf{u}$ là một nguyên thủy của $\mathbf{f}$ trên $I$ và $D$ là một tập hợp lồi đóng chứa $\mathbf{u}(I)$. Chứng minh rằng nếu $g$ là một hàm thực đơn điệu trên $I$ thì ta có

trong đó $\mathbf{c}$ thuộc $D$ (rút gọn về trường hợp $g$ là một hàm bậc thang đơn điệu). Suy ra rằng nếu $f$ là một hàm thực điều chỉnh trên $I$ thì tồn tại một $c \in I$ sao cho ("định lý giá trị trung bình thứ hai").