Exercice 19, § 1

Soient f une fonction convexe dans un intervalle I, h un nombre > 0, et $I_h$ l’intersection de I et des intervalles $I + h$ et $I - h$; montrer que, si $I_h$ n’est pas vide, la fonction

est convexe dans $I_h$; si $h < k$, on a $g_h \leq g_k$. Lorsque h tend vers 0, montrer que $g_h$ tend uniformément vers f dans tout intervalle compact contenu dans l’intérieur de I.