Exercice 22, § 1

Soit f une fonction numérique continue croissante et ≥ 0 dans l’intervalle (0, 1). a) Montrer qu’il existe une fonction convexe g ≥ 0 dans (0, 1) telle que $g \leq f$ et $\int_0^1 g(t)\,dt \geq \frac{1}{2} \int_0^1 f(t)\,dt$ (cf. I, p. 53, exerc. 23). b) Montrer qu’il existe une fonction convexe h dans (0, 1) telle que $h \geq f$ et que

(Pour tout $a$ tel que $0 < a \leq 1$, soit $f_a$ la fonction égale à $f$ pour $0 \leq t \leq a$ et à $f(a)$ pour $a \leq t \leq 1$; soit $A$ l’ensemble des $a \in ]0, 1[$ pour lesquels il existe une fonction convexe $h_a$ dans $(0, 1)$ telle que $h_a \geq f_a$ et $\int_0^1 h_a(t) \, dt \leq 2 \int_0^1 f_a(t) \, dt$. Montrer que la borne supérieure $b$ de $A$ appartient encore à $A$, en utilisant l’exerc. 1 de I, p. 52. Prouver ensuite que $f_b = f$ en raisonnant par l’absurde. Pour cela, on se ramène à prouver le résultat suivant: si $\varphi$ est continue et croissante dans $(0, 1]$, non constante et telle que $\varphi(0) = 0$, il y a un point $c \in ]0, 1[$ tel que $\varphi(c) > 0$ et que la fonction linéaire $\psi$ telle que $\psi(c) = \varphi(c)$ et

vérifie la relation $\psi(t) \geq \varphi(t)$ pour $\max(0, 2c - 1) \leq t \leq c.$