Bài tập 22, § 1

Cho $f$ là một hàm thực liên tục tăng và $\geq 0$ trên khoảng $[0, 1]$

(a) Chứng minh rằng tồn tại một hàm lồi $g \geq 0$ trên $[0, 1]$ sao cho $g \leq f$ và $\int_0^1 g(t)\,dt \geq \frac{1}{2} \int_0^1 f(t)\,dt$ (xem I, p. 48, bài tập 23).

(b) Chứng minh rằng tồn tại một hàm lồi $h$ trên $[0, 1]$ sao cho $h \geq f$ và

(Với mọi $a$ sao cho $0 < a \leq 1$, gọi $f_a$ là hàm bằng $f$ đối với $0 \leq t \leq a$ và bằng $f(a)$ đối với $a \leq t \leq 1$; gọi $A$ là tập hợp các $a \in ]0, 1]$ mà tồn tại một hàm lồi $h_a$ trên $[0, 1]$ sao cho $h_a \geq f_a$ và $\int_0^1 h_a(t)\,dt \leq 2 \int_0^1 f_a(t)\,dt$. Chứng minh rằng cận trên bé nhất $b$ của $A$ lại thuộc về $A$, sử dụng bài tập 1 của I, p. 45. Sau đó chứng minh rằng f_b = f, bằng cách lập luận phản chứng. Đối với điều này, rút gọn về việc chứng minh kết quả sau: nếu $\varphi$ là liên tục và tăng trên $[0, 1]$, không hằng, và sao cho $\varphi(0) = 0$. thì tồn tại một điểm $c \in ]0, 1[$ sao cho $\varphi(c) > 0$ và sao cho hàm tuyến tính $\psi$ thỏa mãn $\psi(c) = \varphi(c)$ và thỏa mãn quan hệ $\psi(t) \geq \varphi(t)$ đối với $\max(0, 2c - 1) \leq t \leq c.$