Exercice 5, § 1

Soit $f$ une fonction vectorielle définie dans un intervalle compact $I = [a, b] \subset \mathbf{R}$, prenant ses valeurs dans un espace normé complet $E$; on dit que $f$ est à variation bornée dans $I$ s’il existe un nombre $m > 0$ tel que, pour toute suite finie strictement croissante $(x_i)_{0 < i < n}$ de points de $I$ telle que $x_0 = a$ et $x_n = b$, on ait

a) Montrer que $f(I)$ est relativement compact dans $E$ (raisonner par l’absurde). b) Montrer que $f$ est réglée dans $I$ (prouver que lorsque $x$ tend vers un point $x_0 \in I$ en restant $> x_0$, $f$ ne peut avoir deux valeurs d’adhérence distinctes, et utiliser a)).