Bài tập 5, § 1

Cho $f$ là một hàm vectơ xác định trên một khoảng compact $I = [a, b] \subset \mathbf{R}$, nhận các giá trị của nó trong một không gian định chuẩn đầy đủ $E$; người ta nói rằng $f$ là có biến thiên bị chặn trên $I$ nếu tồn tại một số $m > 0$ sao cho, với mọi dãy tăng ngặt hữu hạn $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ gồm các điểm của $I$ sao cho $x_0 = a$ và $x_n = b$, ta có

a) Chứng minh rằng $f(I)$ là tương đối compact trong $E$ (lập luận bằng phản chứng).

b) Chứng minh rằng $f$ là điều hòa trên $I$ (chứng minh rằng khi $x$ tiến tới một điểm $x_0 \in I$, vẫn luôn $> x_0$, hàm $f$ không thể có hai điểm tụ khác nhau, và sử dụng $a$).