Exercice 6, § 1

Pour qu’une fonction $f$, à valeurs dans un espace normé complet $E$, et définie dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$, soit égale à une fonction réglée dans $I$, en tous les points du complémentaire d’une partie dénombrable de $I$, il faut et il suffit qu’elle satisfasse à la condition suivante: pour tout $x \in I$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un nombre $h > 0$ et deux éléments $a, b$ de $E$ tels que l’on ait $\|f(y) - a\| \leqslant \varepsilon$ pour tout $y \in [x, x+h]$, sauf au plus une infinité dénombrable de points de cet intervalle, et $\|f(z) - b\| \leqslant \varepsilon$ pour tout $z \in [x-h, x]$ sauf au plus une infinité dénombrable de points de cet intervalle.