Exercice 8, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 30

It is set in small type as supplementary.

Montrer qu’il existe une fonction continue dans $(-1, +1)$ admettant une dérivée finie en tout point de cet intervalle, cette dérivée étant égale à $\sin\left(\frac{1}{\sin 1/x}\right)$ aux points $x$ distincts de $1/n\pi$ ( $n$ entier $\neq 0$ ) et de 0. (Au voisinage de $x = 1/n\pi$ , faire le changement de variable $x = \frac{1}{n\pi + \operatorname{Arc} \sin u}$ et utiliser l’exerc. 7; à l’aide du même changement de variable, montrer qu’il existe une constante $a > 0$ indépendante de $n$ , telle que

\left| \int_{2/(2n+1)\pi}^{2/(2n-1)\pi} \sin \left( \frac{1}{\sin \frac{1}{x}} \right) dx \right| \leq \frac{a}{n^2};

en déduire que si on pose

g(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \int_x^{\epsilon} \sin \left( \frac{1}{\sin \frac{1}{t}} \right) dt,

g

admet au point

x = 0

une dérivée nulle.) \*

Solution

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