Bài tập 8, § 1

Chứng minh rằng tồn tại một hàm liên tục trên $[-1, +1]$ nhận đạo hàm hữu hạn tại mọi điểm của khoảng này, đạo hàm đó bằng $\sin \left( \frac{1}{\sin 1/x} \right)$ tại các điểm $x$ khác với $1/n\pi$ ($n$ là một số nguyên $\neq 0$) và khác 0. (Trên một lân cận của $x = 1/n\pi$ hãy thực hiện phép thay đổi biến $x = \frac{1}{n\pi + \operatorname{Arc}\sin u}$ và sử dụng bài tập 7; bằng cùng phép thay đổi biến đó, chứng minh rằng tồn tại một hằng số $a > 0$ độc lập với $n$ sao cho

và suy ra rằng nếu đặt

thì $g$ có đạo hàm bằng 0 tại điểm $x = 0$.)