Exercice 9, § 1

Soit $f$ une fonction réglée dans un intervalle compact $I = (a, b)$. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction $g$ continue dans $I$ et telle que $\int_a^b \|f(t) - g(t)\| dt \leq \varepsilon$ (se ramener au cas où $f$ est une fonction en escalier). En déduire qu’il existe un polynôme $h$ (à coefficients dans $\mathbf{E}$) tel que $\int_a^b \|f(t) - h(t)\| dt \leq \varepsilon$.