Note historique

(Chapitres I, II, et III)

(N-B. — Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)

En 1604, à l’apogée de sa carrière scientifique, Galilée croit démontrer que, dans un mouvement rectiligne où la vitesse croît proportionnellement au chemin parcouru, la loi du mouvement sera bien celle ( $x = ct^2$ ) qu’il a découverte dans la chute des graves ((III), t. X, p. 115–116). Entre 1695 et 1700, il n’est pas un volume des Acta Eruditorum mensuellement publiés à Leipzig, où ne paraissent des mémoires de Leibniz, des frères Bernoulli, du marquis de l’Hôpital, traitant, à peu de chose près avec les notations dont nous nous servons encore, des problèmes les plus variés du calcul différentiel, du calcul intégral, du calcul des variations. C’est donc presque exactement dans l’intervalle d’un siècle qu’a été forgé le calcul infinitésimal, ou, comme ont fini par dire les Anglais, le Calcul par excellence (« calculus »); et près de trois siècles d’usage constant n’ont pas encore complètement émoussé cet instrument incomparable.

Les Grecs n’ont rien possédé ni imaginé de semblable. S’ils ont connu sans doute, ne fût-ce que pour s’en refuser l’emploi, un calcul algébrique, celui des Babyloniens, dont une partie de leur Géométrie n’est peut-être qu’une transcription, c’est strictement dans le domaine de l’invention géométrique que s’inscrit leur création mathématique peut-être la plus géniale, leur méthode pour traiter des problèmes qui pour nous relèvent du calcul intégral. Eudoxé, traitant du volume du cône et de la pyramide, en avait donné les premiers modèles, qu’Euclide nous a plus ou moins fidèlement transmis ((I), livre XII, prop. 7 et 10). Mais surtout, c’est à ces problèmes qu’est consacrée presque toute l’œuvre d’Archimède ((II) et (II bis)); et, par une fortune singulière, nous sommes à même de lire encore dans leur texte original, dans le sonore dialecte dorien où il les avait si soigneusement rédigés, la plupart de ses écrits, et jusqu’à celui, retrouvé récemment, où il expose les procédés « heuristiques » par lesquels il a été conduit à quelques-uns de ses plus beaux résultats ((II), t. II, p. 425–507). Car c’est là une des faiblesses de l’« exhaustion » d’Eudoxe: méthode de démonstration irréprochable (certains postulats étant admis), ce n’est pas une méthode de découverte; son application repose nécessairement sur la connaissance préalable du résultat à démontrer; aussi, dit Archimède, « des résultats dont Eudoxe a trouvé le premier la démonstration, au sujet du cône et de la pyramide..., une part non petite revient à Démocrite, qui fut le premier à les énoncer sans démonstration » (loc. cit., p. 430). Cette circonstance rend particulièrement difficile l’analyse détaillée de l’oeuvre d’Archimède, analyse qui, à vrai dire, ne semble avoir été entreprise par aucun historien moderne; car de ce fait nous ignorons jusqu’à quel point il a pris conscience des liens de parenté qui unissent les divers problèmes dont il traite (liens que nous exprimerions en disant que la même intégrale revient en maints endroits, sous des aspects géométriques variés), et quelle importance il a pu leur attribuer. Par exemple, considérons les problèmes suivants, le premier résolu par Eudoxe, les autres par Archimède: le volume de la pyramide, l’aire du segment de parabole, le centre de gravité du triangle, et l’aire de la spirale dite d’Archimède ( $\rho = \omega$ en coordonnées polaires); ils dépendent tous de l’intégrale $\int x^2 dx$ , et, sans s’écarter en rien de l’esprit de la méthode d’exhaustion, on peut tous les ramener au calcul de « sommes de Riemann » de la forme $\sum_n a n^2$ . C’est ainsi en effet qu’Archimède traite de la spirale ((II), t. II, p. 1–121), au moyen d’un lemme qui revient à écrire

N^3 < 3 \sum_{n=1}^N n^2 = N^3 + N^2 + \sum_{n=1}^N n < (N + 1)^3.

Quant au centre de gravité du triangle, il démontre (par exhaustion, au moyen d’une décomposition en tranches parallèles) qu’il se trouve sur chacune des médianes, donc à leur point de concours ((II), t. II, p. 261–315). Pour la parabole, il donne trois procédés: l’un, heuristique, destiné seulement à « donner quelque vraisemblance au résultat », ramène le problème au centre de gravité du triangle, par un raisonnement de statique au cours duquel il n’hésite pas à considérer le segment de parabole comme la somme d’une infinité de segments de droite parallèles à l’axe ((II), t. II, p. 435–439); une autre méthode repose sur un principe analogue, mais est rédigée en toute rigueur par exhaustion ((II), t. II, p. 261–315); une dernière démonstration, extraordinairement ingénieuse mais de moindre portée, donne l’aire cherchée comme somme d’une série géométrique au moyen des propriétés particulières de la parabole. Rien n’indique une relation entre ces problèmes et le volume de la pyramide; il est même spécifié ((II), t. II, p. 8) que les problèmes relatifs à la spirale n’ont « rien de commun » avec certains autres relatifs à la sphère et au paraboloïde de révolution, dont Archimède a eu l’occasion de parler dans la même introduction et parmi lesquels il s’en trouve un (le volume du paraboloïde) qui revient à l’intégrale $\int x dx$ .

Comme on le voit sur ces exemples, et sauf emploi d’artifices particuliers, le principe de l’exhaustion est le suivant: par une décomposition en « sommes de Riemann », on obtient des bornes supérieure et inférieure pour la quantité étudiée, bornes qu’on compare directement à l’expression annoncée pour cette quantité, ou bien aux bornes correspondantes pour un problème analogue déjà résolu. La comparaison (qui, faute de pouvoir employer les nombres négatifs, se fait nécessairement en deux parties) est introduite par les paroles sacramentelles: « sinon, en effet, elle serait, ou plus grande, ou plus petite; supposons, s’il se peut, qu’elle soit plus grande, etc.; supposons, s’il se peut, qu’elle soit plus petite, etc. », d’où le nom de méthode « apagogique » ou « par réduction à l’absurde » (« ἀπαγωγικὴ εἰς ἀδύνατον ») que lui donnent les savants du xvii\textsuperscript{e} siècle. C’est sous une forme analogue qu’est rédigée la détermination de la tangente à la spirale par Archimède ((II), t. II, p. 62–76), résultat isolé, et le seul que nous ayons à citer comme source antique du « calcul différentiel » en dehors de la détermination relativement facile des tangentes aux coniques, et quelques problèmes de maxima et minima. Si en effet, en ce qui concerne l’« intégration », un champ de recherches immense était offert aux mathématiciens grecs, non seulement par la théorie des volumes, mais encore par la statique et l’hydrostatique, ils n’ont guère eu, faute d’une cinématique, l’occasion d’aborder sérieusement la différentiation. Il est vrai qu’Archimède donne une définition cinématique de sa spirale; et, faute de savoir comment il a pu être conduit à la connaissance de sa tangente, on a le droit de se demander s’il n’a pas eu quelque idée de la composition des mouvements. Mais en ce cas n’aurait-il pas appliqué une méthode si puissante à d’autres problèmes du même genre? Il est plus vraisemblable qu’il a dû se servir de quelque procédé heuristique de passage à la limite que les résultats connus de lui sur les coniques pouvaient lui suggérer; ceux-ci, bien entendu, sont de nature essentiellement plus simple, puisqu’on peut construire les points d’intersection d’une droite et d’une conique, et par conséquent déterminer la condition de coïncidence de ces points. Quant à la définition de la tangente, celle-ci est conçue comme une droite qui, au voisinage d’un certain point de la courbe laisse la courbe tout entière d’un même côté; l’existence en est admise, et il est admis aussi que toute courbe se compose d’arcs convexes; dans ces conditions, pour démontrer qu’une droite est tangente à une courbe, il faut démontrer certaines inégalités, ce qui est fait bien entendu avec la plus complète précision.

Du point de vue de la rigueur, les méthodes d’Archimède ne laissent rien à désirer; et, au xvii\textsuperscript{e} siècle encore, lorsque les mathématiciens les plus scrupuleux veulent mettre entièrement hors de doute un résultat jugé particulièrement délicat, c’est une démonstration « apagogique » qu’ils en donnent ((XI a) et (XII a)). Quant à leur fécondité, l’œuvre d’Archimède en est un suffisant témoignage. Mais pour qu’on ait le droit de voir là un « calcul intégral », il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de l’« intégrale » sous-jacente. Au xvii\textsuperscript{e} siècle, nous allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un des principaux soucis des géomètres; si l’on n’en trouve pas trace chez Archimède, n’est-ce pas un signe que de telles spéculations lui seraient apparues comme exagérément « abstraites », et qu’il s’est volontairement, au contraire, en chaque occasion, tenu le plus près possible des propriétés spécifiques de la figure dont il poursuivait l’étude? Et ne devons-nous pas conclure que cette œuvre admirable, d’où le calcul intégral, de l’aveu de ses créateurs, est tout entier sorti, est en quelque façon à l’opposé du calcul intégral?

Ce n’est pas impunément, par ailleurs, qu’on peut, en mathématique, laisser se creuser un fossé entre découverte et démonstration. Aux époques favorables, le mathématicien, sans manquer à la rigueur, n’a qu’à mettre par écrit ses idées presque telles qu’il les conçoit; parfois encore il peut espérer faire en sorte qu’il en soit ainsi, au prix d’un changement heureux dans le langage et les notations admises. Mais souvent aussi il doit se résigner à choisir entre des méthodes d’exposition incorrectes et peut-être fécondes, et des méthodes correctes mais qui ne lui permettent plus d’exprimer sa pensée qu’en la déformant et au prix d’un fatigant effort. L’une ni l’autre voie n’est exempte de dangers. Les Grecs ont suivi la seconde, et c’est là peut-être, plus encore que dans l’effet stérilisant de la conquête romaine, qu’il faut chercher la raison du surprenant arrêt de leur mathématique presque aussitôt après sa plus brillante floraison. Il a été suggéré, sans invraisemblance, que l’enseignement oral des successeurs d’Archimède et d’Apollonius a pu contenir maint résultat nouveau sans qu’ils aient cru devoir s’infliger l’extraordinaire effort requis pour une publication conforme aux canons reçus. Ce ne sont plus de tels scrupules en tout cas qui arrêtent les mathématiciens du xvii\textsuperscript{e} siècle, lorsque, devant les problèmes nouveaux qui se posent en foule, ils cherchent dans l’étude assidue des écrits d’Archimède les moyens de le dépasser.

Tandis que les grands classiques de la littérature et de la philosophie grecque ont tous été imprimés en Italie, par Alde Manuce et ses émules, et presque tous avant 1520, c’est en 1544 seulement, et chez Hervagius à Bâle, que paraît l’édition princeps d’Archimède, grecque et latine,\footnote{Archimidis Opera quae quidem existant omnia, nunc primus et gr. et lat. edita . . . Basileae, Jo. Hervagius, 1544, 1 vol. in-fol.} sans qu’aucune publication antérieure en latin soit venue la préparer; et, loin que les mathématiciens de cette époque (absorbés qu’ils étaient par leurs recherches algébriques) en aient ressenti aussitôt l’influence, il faut attendre Galilée et Képler, tous deux astronomes et physiciens bien plus que mathématiciens, pour que cette influence devienne manifeste. À partir de ce moment, et sans cesse jusque vers 1670, il n’est pas de nom, dans les écrits des fondateurs du Calcul infinitésimal, qui revienne plus souvent que celui d’Archimède. Plusieurs le traduisent et le commentent; tous, de Fermat à Barrow, le citent à l’envi; tous déclarent y trouver à la fois un modèle et une source d’inspiration.

Il est vrai que ces déclarations, nous allons le voir, ne doivent pas toutes être prises tout à fait à la lettre; là se trouve l’une des difficultés qui s’opposent à une juste interprétation de ces écrits. L’historien doit tenir compte aussi de l’organisation du monde scientifique de cette époque, fort défectueuse encore au début du xvii\textsuperscript{e} siècle, tandis que vers la fin du même siècle, par la création des sociétés savantes et des périodiques scientifiques, par la consolidation et le développement des universités, elle finit par ressembler fort à ce que nous connaissons aujourd’hui. Dépourvus de tout périodique jusqu’en 1665, les mathématiciens n’avaient le choix, pour faire connaître leurs travaux, qu’entre la voie épistolaire, et l’impression d’un livre, le plus souvent à leurs propres frais, ou à ceux d’un mécène s’il s’en trouvait. Les éditeurs et imprimeurs capables de travaux de cette sorte étaient rares, parfois peu sûrs. Après les longs délais et les tracas sans nombre qu’impliquait une publication de ce genre, l’auteur avait le plus souvent à faire face à des controverses interminables, provoquées par des adversaires qui n’étaient pas toujours de bonne foi, et poursuivies parfois sur un ton d’aigreur surprenant: car, dans l’incertitude générale où l’on se trouvait au sujet des principes mêmes du calcul infinitésimal, il n’était pas difficile à chacun de trouver des points faibles, ou du moins obscurs et contestables, dans les raisonnements de ses rivaux. On comprend que dans ces conditions beaucoup de savants épris de tranquillité se soient contentés de communiquer à quelques amis choisis leurs méthodes et leurs résultats. Certains, et surtout certains amateurs de science, tels Mersenne à Paris et plus tard Collins à Londres, entretenaient une vaste correspondance en tous pays, dont ils communiquaient des extraits de part et d’autre, non sans qu’à ces extraits ne se mélassent des sottises de leur propre cru. Possesseurs de « méthodes » que, faute de notions et de définitions générales, ils ne pouvaient rédiger sous forme de théorèmes ni même formuler avec quelque précision, les mathématiciens en étaient réduits à en faire l’essai sur des foules de cas particuliers, et croyaient ne pouvoir mieux faire, pour en mesurer la puissance, que de lancer des défis à leurs confères, accompagnés parfois de la publication de leurs propres résultats en langage chiffré. La jeunesse studieuse voyageait, et plus peut-être qu’aujourd’hui; et les idées de tel savant se répandaient parfois mieux par l’effet des voyages de tel de ses élèves que par ses propres publications, mais non sans qu’il y eût là une autre cause encore de malentendus. Enfin, les mêmes problèmes se posant nécessairement à une foule de mathématiciens, dont beaucoup fort distingués, qui n’avaient qu’une connaissance imparfaite des résultats les uns des autres, les réclamations de priorité ne pouvaient manquer de s’élèver sans cesse, et il n’était pas rare que s’y joignissent des accusations de plagiat.

C’est donc dans les lettres et papiers privés des savants de ce temps, presque autant ou même plus que dans leurs publications proprement dites, que l’historien a à chercher ses documents. Mais, tandis que ceux d’Huygens par exemple nous ont été conservés et ont fait l’objet d’une publication exemplaire (XVI), ceux de Leibniz n’ont été publiés encore que d’une manière défectueuse et fragmentaire, et beaucoup d’autres sont perdus sans remède. Du moins les recherches les plus récentes, fondées sur l’analyse des manuscrits, ont-elles mis en évidence, d’une manière qui semble irréfutable, un point que des querelles partisanes avaient quelque peu obscurci: c’est que, chaque fois que l’un des grands mathématiciens de cette époque a porté témoignage sur ses propres travaux, sur l’évolution de sa pensée, sur les influences qu’il a subies et celles qu’il n’a pas subies, il l’a fait d’une manière honnête et sincère, et en toute bonne foi¹; ces témoignages précieux, dont nous possédons un assez grand

¹ Ceci s’applique par exemple à Torricelli (voir (XII), t. VIII, p. 181–194) et à Leibniz (D. Mahnke, Abh. Preuss. Akad. der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926). Ce n’est pas à dire, bien entendu, nombre, peuvent donc être utilisés en toute confiance, et l’historien n’a pas à se transformer à leur égard en juge d’instruction. Au reste, la plupart des questions de priorité qu’on a soulevées sont tout à fait dépourvues de sens. Il est vrai que Leibniz, lorsqu’il adopta la notation $dx$ pour la « différentielle », ignorait que Newton, depuis une dizaine d’années, se servait de $\dot{x}$ pour la « fluxion » : mais qu’importerait qu’il l’eût su ? Pour prendre un exemple plus instructif, quel est l’auteur du théorème $\log x = \int dx/x$ , et quelle en est la date ? La formule, telle que nous venons de l’écrire, est de Leibniz puisque l’un et l’autre membre sont écrits dans sa notation. Leibniz lui-même, et Wallis, l’attribuent à Grégoire de Saint-Vincent. Ce dernier, dans son Opus Geometricum (IX) (paru en 1647, mais rédigé, dit-il, longtemps auparavant), démontre seulement l’équivalent de ce qui suit : si $f(a, b)$ désigne l’aire du segment hyperbolique $a \leq x \leq b,\ 0 \leq y \leq A/x$ , la relation $b'/a' = (b/a)^n$ entraîne $f(a', b') = n.f(a, b)$ ; à quoi son élève et commentateur Sarasa ajoute presque aussitôt¹ le remarque que les aires $f(a, b)$ peuvent donc « tenir lieu de logarithmes ». S’il n’en dit pas plus, et si Grégoire lui-même n’en avait rien dit, n’est-ce pas parce que, pour la plupart des mathématiciens de cette époque, les logarithmes étaient des « aides au calcul » sans droit de cité en mathématique ? Il est vrai que Torricelli, dans une lettre de 1644 (VII bis), parle de ses recherches sur une courbe que nous noterions $y = ae^{-ex},\ x \geq 0$ , en ajoutant que là où Neper (que d’ailleurs il couvre d’éloges) « ne poursuivait que la pratique arithmétique », lui-même « en tirait une spéculation de géométrie » ; et il a laissé sur cette courbe un manuscrit évidemment préparé pour la publication, mais resté inédit jusqu’en 1900 ((VII), t. I, p. 335–347). Descartes d’ailleurs avait rencontré la même courbe dès 1639 à propos du « problème de Debeaune » et l’avait décrite sans parler de logarithmes ((X), t. II, p. 514–517). Quoi qu’il en soit, J. Gregory, en 1667, donne, sans citer qui que ce soit ((XVII a), reproduit dans (XVI bis), p. 407–462), une règle pour calculer les aires des segments hyperboliques au moyen des logarithmes (décimaux) : ce qui implique à la fois la connaissance théorique du lien entre la quadrature de l’hyperbole et les logarithmes, et la connaissance numérique du lien entre logarithmes « naturels » et « décimaux ». Est-ce à ce dernier point seulement que s’applique la revendication de Huygens, qui conteste aussitôt la nouveauté du résultat de Gregory (XVI a) ? C’est ce qui n’est pas plus clair pour nous que pour les contemporains ; ceux-ci en tout cas ont eu l’impression nette que l’existence d’un lien entre logarithmes et quadrature de l’hyperbole était chose connue depuis longtemps, sans qu’ils puissent là-dessus se référer qu’à des allusions épistolaires ou bien au livre de Grégoire de Saint-Vincent. En 1668, lorsque Brouncker donne (avec une démonstration de convergence soignée, par comparaison avec série géométrique) des séries pour $\log 2$ et $\log (5/4)$ (XIV), il les présente comme expressions des segments d’hyperbole

¹ Solutio problematis ... Auctore P. Alfonso Antonio de Sarasa ... Antverpiae, 1649.

correspondants, et ajoute que les valeurs numériques qu’il obtient sont « dans le même rapport que les logarithmes » de 2 et de 5/4. Mais la même année, avec Mercator (XIII) (ou plus exactement avec l’exposé donné aussitôt par Wallis du travail de Mercator (XV bis)), le langage change: puisque les segments d’hyperbole sont proportionnels à des logarithmes, et qu’il est bien connu que les logarithmes ne sont définis par leurs propriétés caractéristiques qu’à un facteur constant près, rien n’empêche de considérer les segments d’hyperbole comme des logarithmes, qualifiés de « naturels » (par opposition aux logarithmes « artificiels » ou « décimaux »), ou hyperboliques; ce dernier pas franchi (à quoi contribue la série pour log(1 + x), donnée par Mercator), le théorème $\log x = \int dx/x$ est obtenu, à la notation près, où plutôt il est devenu définition. Que conclure, sinon que c’est par transitions presque insensibles que s’en est faite la découverte, et qu’une dispute de priorité sur ce sujet ressemblerait fort à une querelle entre le violon et le trombone sur le moment exact où tel motif apparaît dans une symphonie? Et à vrai dire, tandis qu’à la même époque d’autres créations mathématiques, l’arithmétique de Fermat, la dynamique de Newton, portent un cachet fortement individuel, c’est bien au déroulement graduel et inévitable d’une symphonie, où le « Zeitgeist », à la fois compositeur et chef d’orchestre, tiendrait le bâton, que fait songer le développement du calcul infinitésimal au xvii\textsuperscript{e} siècle: chacun y exécute sa partie avec son timbre propre, mais nul n’est maître des thèmes qu’il fait entendre, thèmes qu’un contrepoint savant a presque inexorablement enchevêtrés. C’est donc sous forme d’une analyse thématique que l’histoire en doit être écrite; nous nous contenterons ici d’une esquisse sommaire, et qui ne saurait prétendre à une exactitude minutieuse.\footnote{Dans ce qui suit, l’attribution d’un résultat à tel auteur, à telle date, indique seulement que ce résultat lui était connu à cette date (ce qui a été le plus souvent possible vérifié sur les textes originaux); nous n’entendons pas affirmer absolument que cet auteur n’en ait pas eu connaissance plus tôt, ou qu’il ne l’ait pas reçu d’autrui; encore bien moins voulons-nous dire que le même résultat n’a pu être obtenu indépendamment par d’autres, soit plus-tôt, soit plus tard.}

A) Le thème de la rigueur mathématique, contrastant avec celui des infiniments petit, indivisibles ou différentielles. On a vu que tous deux tiennent une place importante chez Archimède, le premier dans toute son œuvre, le second dans le seul traité de la Méthode, que le xvii\textsuperscript{e} siècle n’a pas connu, de sorte que, s’il a été transmis et non réinventé, il n’a pu l’être que par la tradition philosophique. Le principe des infiniment petits apparaît d’ailleurs sous deux formes distinctes suivant qu’il s’agit de « différentiation » ou d’« intégration ». Quant à celle-ci, soit d’abord à calculer une aire plane: on la divisera en une infinité de tranches parallèles infiniment petites, au moyen d’une infinité de parallèles équidistantes; et chacune de ces tranches est un rectangle (bien qu’aucune des tranches finies qu’on obtiendrait au moyen de deux parallèles à distance finie ne soit un rectangle). De même, un solide de révolution sera décomposé en une infinité de cylindres de même hauteur infiniment petite, par des plans perpendiculaires à l’axe¹; des façons de parler analogues pourront être employées lorsqu’il s’agit de décomposer une aire en triangles par des droites concourantes, ou de raisonner sur la longueur d’un arc de courbe comme s’il s’agissait d’un polygone à une infinité de côtés, etc. Il est certain que les rares mathématiciens qui possédaient à fond le maniement des méthodes d’Archimède, tels Fermat, Pascal, Huygens, Barrow, ne pouvaient, dans chaque cas particulier, trouver aucune difficulté à remplacer l’emploi de ce langage par des démonstrations rigoureuses; aussi font-ils fréquemment remarquer que ce langage n’est là que pour abréger. «Il serait aisé», dit Fermat, «de donner des démonstrations à la manière d’Archimède;..., ce dont il suffira d’avoir averti une fois pour toutes afin d’éviter des répétitions continues...» ((XI), t. I, p. 257); de même Pascal: «ainsi l’une de ces méthodes ne diffère de l’autre qu’en la manière de parler» ((XII b), p. 352)²; et Barrow, avec sa concision narquoise: «longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsum?» (on pourrait allonger par un discours apagogique, mais à quoi bon?) ((XVIII), p. 251). Fermat se garde même bien, semble-t-il, d’avancer quoi que ce soit qu’il ne puisse justifier ainsi, et se condamne par là à n’énoncer aucun résultat général que par allusion ou sous forme de «méthode»; Barrow, pourtant si soigneux, est quelque peu moins scrupuleux. Quant à la plupart de leurs contemporains, on peut dire à tout le moins que la rigueur n’est pas leur principal souci, et que le nom d’Archimède n’est le plus souvent qu’un pavillon destiné à couvrir une marchandise de grand prix sans doute, mais dont Archimède n’eût certes pas assumé la responsabilité. À plus forte raison en est-il ainsi lorsqu’il s’agit de différentiation. Si la courbe, lorsqu’il s’agit de sa rectification, est assimilée à un polygone à une infinité de côtés, c’est ici un arc «infiniment petit» de la courbe qui est assimilé à un segment de droite «infiniment petit», soit la corde, soit un segment de la tangente dont l’existence est admise; ou bien encore c’est un intervalle de temps «infiniment petit» qu’on considère, durant lequel (tant qu’il ne s’agit que de vitesse) le mouvement «est» uniforme; plus hardi encore, Descartes, voulant déterminer la tangente à la cycloïde qui ne se prête pas à sa règle générale, assimile des courbes roulant l’une sur l’autre à des polygones, pour en déduire que «dans l’infiniment petit» le mouvement peut être assimilé à une rotation autour du point de contact ((X), t. II, p. 307–338). Ici encore, un Fermat, qui fait reposer sur de telles considérations infinitésimales ses règles pour les tangentes et pour les maxima et minima, est en état de les justifier dans chaque cas particulier ((XI b); cf. aussi (XI), t. II, passim, en particulier p. 154–162, et Supplément aux Œuvres (Gauthier-Villars, 1922), p. 72–86); Barrow donne pour une grande partie de ses théorèmes

¹ V. p. ex. l’exposé de Pascal dans la «lettre à M. de Carcavy» (XII b). On notera que, grâce au prestige d’une langue incomparable, Pascal arrive à créer l’illusion de la parfaite clarté, au point que l’un de ses éditeurs modernes s’extasie sur «la minutie et la précision dans l’exactitude de la démonstration»!

² Mais, dans la Lettre à Monsieur A. D. D. S.: «... sans m’arrêter, ni aux méthodes des mouvements, ni à celles des indivisibles, mais en suivant celles des anciens, afin que la chose pût être désormais ferme et sans dispute» ((XII a), p. 256).

des démonstrations précises, à la manière des anciens, à partir d’hypothèses simples de monotonie et de convexité. Mais le moment n’était déjà plus à verser le vin nouveau dans de vieilles outres. Dans tout cela, nous le savons aujourd’hui, c’est la notion de limite qui s’élaborait; et, si l’on peut extraire de Pascal, de Newton, d’autres encore, des énoncés qui semblent bien proches de nos définitions modernes, il n’est que de les replacer dans leur contexte pour apercevoir les obstacles invincibles qui s’opposaient à un exposé rigoureux. Lorsqu’à partir du xvii\textsuperscript{e} siècle des mathématiciens épris de clarté voulaient mettre quelque ordre dans l’amas confus de leurs richesses, de telles indications, rencontrées dans les écrits de leurs prédécesseurs, leur ont été précieuses; quand d’Alembert par exemple explique qu’il n’y a rien d’autre dans la différentiation que la notion de limite, et définit celle-ci avec précision (XXVI), on peut croire qu’il a été guidé par les considérations de Newton sur les « premières et dernières raisons de quantités évanouissantes » (XX). Mais, tant qu’il ne s’agit que du xvii\textsuperscript{e} siècle, il faut bien constater que la voie n’est ouverte à l’analyse moderne que lorsque Newton et Leibniz, tournant le dos au passé, acceptent de chercher provisoirement la justification des nouvelles méthodes, non dans des démonstrations rigoureuses, mais dans la fécondité et la cohérence des résultats.

B) La cinématique. Déjà Archimède, on l’a vu, donnait une définition cinématique de sa spirale; et au moyen-âge se développe (mais sauf preuve du contraire, sans considérations infinitésimales) une théorie rudimentaire de la variation des grandeurs en fonction du temps, et de leur représentation graphique, dont on doit peut-être faire remonter l’origine à l’astronomie babylonienne. Mais il est de la plus grande importance pour la mathématique du xvii\textsuperscript{e} siècle que, dès l’abord, les problèmes de différentiation se soient présentés, non seulement à propos de tangentes, mais à propos de vitesses. Galilée pourtant ((III) et (III bis)), recherchant la loi des vitesses dans la chute des graves (après avoir obtenu la loi des espaces $x = at^2$ , par l’expérience du plan incliné), ne procède pas par différentiation: il fait diverses hypothèses sur la vitesse, d’abord $v = dx/dt = cx$ ((III), t. VIII, p. 203), puis plus tard $v = ct$ (id., p. 208), et cherche à retrouver la loi des espaces en raisonnant, d’une manière assez obscure, sur le graphe de la vitesse en fonction du temps; Descartes (en 1618) raisonne de même, sur la loi $v = ct$ , mais en vrai mathématicien et avec autant de clarté que le comporte le langage des indivisibles¹ ((X), t. X, p. 75–78); chez tous deux, le graphe de la vitesse (en l’espèce une droite) joue le principal rôle et il y a lieu de se demander jusqu’à quel point ils ont eu conscience de la proportionnalité entre les espaces parcourus et les aires comprises entre l’axe des temps et la courbe des vitesses; mais il est difficile de rien affirmer sur ce point, bien que le langage de Descartes

¹ Descartes ajoute même un intéressant raisonnement géométrique par lequel il déduit la loi $x = at^2$ de l’hypothèse $dv/dt = ct$ . En revanche, il est piquant, dix ans plus tard, de le voir s’embrouiller dans ses notes, et recopier à l’usage de Mersenne un raisonnement inexact sur la même question, où le graphe de la vitesse en fonction du temps est confondu avec le graphe en fonction de l’espace parcouru ((X), t. I, p. 71).

semble impliquer la connaissance du fait en question (que certains historiens veulent faire remonter au moyen-âge¹), tandis que Galilée n’y fait pas d’allusion nette. Barrow l’énonce explicitement en 1670 ((XVIII), p. 171); peut-être n’était-ce plus à cette époque une nouveauté pour personne, et Barrow ne la donne pas pour telle; mais, pas plus pour ce résultat que pour aucun autre, il ne convient de vouloir marquer une date avec trop de précision. Quant à l’hypothèse $v = cx$ , envisagée aussi par Galilée, il se contente (loc. cit.) de démontrer qu’elle est insoutenable (ou, en langage moderne, que l’équation $dx/dt = cx$ n’a pas de solution $\neq 0$ qui s’annule pour $t = 0$ ), par un raisonnement obscur que Fermat plus tard ((XI), t. II, p. 267–276) prend la peine de développer (et qui revient à peu près à dire que, $2x$ étant solution en même temps que $x$ , $x \neq 0$ serait contraire à l’unicité physiquement évidente de la solution). Mais c’est cette même loi $dx/dt = cx$ qui, en 1614, sert à Neper à introduire ses logarithmes, dont il donne une définition cinématique (IV) qui, dans notre notation, s’écrirait comme suit: si, sur deux droites, deux mobiles se déplacent suivant les lois $dx/dt = a, dy/dt = -ay/r, x_0 = 0, y_0 = r$ , alors on dit que $x$ est le « logarithme » de $y$ (en notation moderne, on a $x = r \log (r/y)$ ). On a vu que la courbe solution de $dy/dx = c/x$ apparaît en 1639 chez Descartes, qui la décrit cinématiquement ((X), t. II, p. 514–517); il est vrai qu’il qualifiait assez dédaigneusement de « mécaniques » toutes les courbes non algébriques, et prétendait les exclure de la géométrie; mais heureusement ce tabou, contre lequel Leibniz, beaucoup plus tard, croit encore devoir protester vigoureusement, n’a pas été observé par les contemporains, ni par Descartes lui-même. La cycloïde, la spirale logarithmique apparaissent et sont étudiées avec ardeur, et leur étude aide puissamment à la compréhension des méthodes géométrique et cinématique. Le principe de composition des mouvements, et plus précisément de composition des vitesses, était à la base de la théorie du mouvement des projectiles exposée par Galilée dans le chef-d’œuvre de sa vieillesse, les Discorsi de 1638 ((III), t. VIII, p. 268–313), théorie qui contient donc implicitement une nouvelle détermination de la tangente à la parabole; si Galilée n’en fait pas expressément la remarque, Torricelli au contraire ((VII) t. III, p. 103–159) insiste sur ce point, et fonde sur le même principe une méthode générale de détermination des tangentes pour les courbes susceptibles d’une définition cinématique. Il est vrai qu’il avait été devancé en cela, de plusieurs années, par Roberval (VIII a), qui dit avoir été conduit à cette méthode par l’étude de la cycloïde; ce même problème de la tangente à la cycloïde donne d’ailleurs à Fermat l’occasion de démontrer la puissance de sa méthode de différentiation ((XI b), p. 162–165), tandis que Descartes, incapable d’y appliquer sa méthode algébrique, invente pour la circonstance le centre instantané de rotation ((X), t. II, p. 307–338).

Mais, à mesure que le calcul infinitésimal se développe, la cinématique cesse

¹ H. Wieleitner, Der « Tractatus de latitudinibus formarum » des Oresme, Bibl. Mat. (III), t. 13 (1912), p. 115–145.

d’être une science à part. On s’aperçoit de plus en plus qu’en dépit de Descartes, les courbes et fonctions algébriques n’ont, du point de vue « local » qui est celui du calcul infinitésimal, rien qui les distingue d’autres beaucoup plus générales; les fonctions et courbes à définition cinématique sont des fonctions et courbes comme les autres, accessibles aux mêmes méthodes; et la variable « temps » n’est plus qu’un paramètre, dont l’aspect temporel est pure affaire de langage. Ainsi chez Huygens, même lorsqu’il s’agit de mécanique, c’est la géométrie qui domine (XVI b); et Leibniz ne donne au temps dans son calcul aucun rôle privilégié. Au contraire Barrow imagina de faire, de la variation simultanée de diverses grandeurs en fonction d’une variable indépendante universelle conçue comme un « temps », le fondement d’un calcul infinitésimal à tendance géométrique. Cette idée, qui a dû lui venir lorsqu’il cherchait à retrouver la méthode de composition des mouvements dont il ne connaissait l’existence que par oui-dire, est exposée en détail, en termes fort clairs et fort généraux, dans les trois premières de ses Lectiones Geometricae (XVIII); il y démontre par exemple avec soin que, si un point mobile a pour projections, sur deux axes rectangulaires AY, AZ, des points mobiles dont l’un se meut avec une vitesse constante $a$ et l’autre avec une vitesse $v$ qui croît avec le temps, la trajectoire a une tangente de pente égale à $v/a$ , et est concave vers la direction des Z croissants. Dans la suite des Lectiones, il poursuit ces idées fort loin, et, bien qu’il mette une sorte de coquetterie à les rédiger presque de bout en bout sous une forme aussi géométrique et aussi peu algébrique que possible, il est permis de voir là, avec Jakob Bernoulli ((XXIII), t. I, p. 431 et 453), l’équivalent d’une bonne partie du calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Les mêmes idées exactement servent de point de départ à Newton ((XIX c) et (XX)): ses « fluentes » sont les diverses grandeurs, fonctions d’un « temps » qui n’est qu’un paramètre universel, et les « fluxions » en sont les dérivées—par rapport au « temps »; la possibilité que s’accorde Newton de changer au besoin de paramètre est présente également dans la méthode de Barrow, quoi-qu’utilisée par celui-ci avec moins de souplesse.¹ Le langage des fluxions, adopté par Newton et imposé par son autorité aux mathématiciens anglais du siècle suivant, représente ainsi le dernier aboutissement, pour la période qui nous occupe, des méthodes cinématiques dont le rôle véritable était déjà terminé.

C) La Géométrie algébrique. C’est là un thème parasite, étranger à notre sujet, qui s’introduit du fait que Descartes, par esprit de système, prétendit faire des

¹ Sur les rapports de Barrow et de Newton, voir Osmond, Isaac Barrow. His life and time, London, 1944. Dans une lettre de 1663 (cf. St. P. Rigaud, Correspondence of scientific men..., Oxford, 1841, vol. II, p. 32–33), Barrow parle de ses réflexions déjà anciennes sur la composition des mouvements, qui l’ont amené à un théorème très général sur les tangentes (si c’est celui des Lect. Geom., Lect. X((XVIII), p. 247), il est si général en effet qu’il comprend comme cas particulier tout ce qui avait été fait jusque-là sur ce sujet). D’autre part Newton a été l’élève de Barrow en 1664 et 1665, mais dit avoir obtenu indépendamment sa règle pour déduire, d’une relation entre « fluentes », une relation entre leurs « fluxions ». Il est vraisemblable que Newton a pris dans l’enseignement de Barrow l’idée générale de grandeurs variant en fonction de temps, et de leurs vitesses de variation, notions que ses réflexions sur la dynamique (auxquelles Barrow a dû rester tout à fait étranger) ont bientôt contribué à préciser.

courbes algébriques l’objet exclusif de la géométrie ((X), t. VI, p. 390); aussi est-ce une méthode de géométrie algébrique, et non comme Fermat une méthode de calcul différentiel, qu’il donne pour la détermination des tangentes. Les résultats légués par les anciens sur l’intersection d’une droite et d’une conique, les réflexions de Descartes lui-même sur l’intersection de deux coniques et les problèmes qui s’y ramènent, devaient tout naturellement le conduire à l’idée de prendre pour critère de contact la coincidence de deux intersections: nous savons aujourd’hui qu’en géométrie algébrique c’est là le critère correct, et d’une si grande généralité qu’il est indépendant du concept de limite et de la nature du « corps de base ». Descartes l’applique d’abord d’une manière peu commode, en cherchant à faire coïncider en un point donné deux intersections de la courbe étudiée et d’un cercle ayant son centre sur Ox ((X), t. VI, p. 413–424); ses disciples, van Schooten, Hudde, substituent au cercle une droite, et obtiennent sous la forme $-F'_x/F'_y$ la pente de la tangente à la courbe

F(x, y) = 0,

les « polynômes dérivés » $F'_x, F'_y$ étant définis par leur règle formelle de formation ((X bis), t. I, p. 147–344 et (XXII), p. 234–237); de Sluse arrive aussi à ce résultat vers la même époque ((XXII), p. 232–234). Bien entendu les distinctions tranchées que nous marquons ici, et qui seules donnent un sens à la controverse entre Descartes et Fermat, ne pouvaient en aucune façon exister dans l’esprit des mathématiciens du xvii\textsuperscript{e} siècle: nous ne les avons mentionnées que pour éclairer un des plus curieux épisodes de l’histoire qui nous occupe, et pour constater presque aussitôt après la complète éclipse des méthodes algébriques, provisoirement absorbées par les méthodes différentielles.

D) Classification des problèmes. Ce thème, nous l’avons vu, semble absent de l’œuvre d’Archimède, à qui il est assez indifférent de résoudre un problème directement ou de le ramener à un problème déjà traité. Au xvii\textsuperscript{e} siècle, les problèmes de différentiation apparaissent d’abord sous trois aspects distincts: vitesses, tangentes, maxima et minima. Quant à ces derniers, Képler (V) fait l’observation (qu’on trouve déjà chez Oresme[^1], et qui n’avait pas échappé même aux astronomes babyloniens) que la variation d’une fonction est particulièrement lente au voisinage d’un maximum. Fermat, dès avant 1630 ((XI b); cf. (XI), t. II, p. 71), inaugure à propos de tels problèmes sa méthode infinitésimale, qui en langage moderne revient en somme à rechercher les deux premiers termes (le terme constant et le terme du premier ordre) du développement de Taylor, et à écrire qu’en un extremum le second s’annule; il part de là pour étendre sa méthode à la détermination des tangentes, et l’applique même à la recherche des points d’inflexion. Si on tient compte de ce qui a été dit plus haut à propos de cinématique, on voit que l’unification des trois types de problèmes relatifs à la dérivée première a été réalisée d’assez bonne heure. Quant aux problèmes relatifs à la dérivée seconde, ils n’apparaissent que fort tard, et surtout avec les travaux de Huygens sur la développée d’une courbe (publiés en 1673 dans son Horologium Oscillatorium (XVI b)); à ce moment, Newton, avec ses fluxions, était déjà en possession de tous les moyens analytiques nécessaires pour résoudre de tels problèmes; et, malgré tout le talent géométrique qu’y dépense Huygens (et dont plus tard la géométrie différentielle à ses débuts devait profiter), ils n’ont guère servi à autre chose, pour la période qui nous occupe, qu’à permettre à la nouvelle analyse de constater la puissance de ses moyens.

Pour l’intégration, elle était apparue aux Grecs comme calcul d’aires, de volumes, de moments, comme calcul de la longueur du cercle et d’aires de segments sphériques; à quoi le xviiie siècle ajoute la rectification des courbes, le calcul de l’aire des surfaces de révolution, et (avec les travaux de Huygens sur le pendule composé (XVI b)) le calcul des moments d’inertie. Il s’agissait d’abord de reconnaître le lien entre tous ces problèmes. Pour les aires et les volumes, ce premier et immense pas en avant est fait par Cavalieri, dans sa Géométrie des indivisibles (VI a). Il y énonce, et prétend démontrer, à peu près le principe suivant: si deux aires planes sont telles que toute parallèle à une direction donnée les coupe suivant des segments dont les longueurs sont dans un rapport constant, alors ces aires sont dans le même rapport; un principe analogue est posé pour les volumes coupés par les plans parallèles à un plan fixe suivant des aires dont les mesures soient dans un rapport constant. Il est vraisemblable que ces principes ont été suggérés à Cavalieri par des théorèmes tels que celui d’Euclide (ou plutôt d’Eudoxe) sur le rapport des volumes des pyramides de même hauteur, et qu’avant de les poser d’une manière générale, il en a d’abord vérifié la validité sur un grand nombre d’exemples pris dans Archimède. Ils les « justifie » par l’emploi d’un langage, sur la légitimité duquel on le voit interroger Galilée dans une lettre de 1621, alors qu’en 1622 déjà il l’emploie sans hésitation ((III), t. XIII, p. 81 et 86) et dont voici l’essentiel. Soient par exemple deux aires,

l’une $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq f(x)$ , l’autre $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq g(x)$ ;

les sommes d’ordonnées $\sum_{k=0}^{n-1} f(ka/n), \sum_{k=0}^{n-1} g(ka/n)$ sont l’une à l’autre dans un rapport qui, pour $n$ assez grand, est aussi voisin qu’on veut du rapport des deux aires, et il ne serait même pas difficile de le démontrer par exhaustion pour $f$ et $g$ monotones; Cavalieri passe à la limite, fait $n = \infty$ , et parle de « la somme de toutes les ordonnées » de la première courbe, qui est à la somme analogue pour la deuxième courbe dans un rapport rigoureusement égal au rapport des aires; de même pour les volumes; et ce langage est ensuite universellement adopté, même par les auteurs, comme Fermat, qui ont le plus nettement conscience des faits précis qu’il recouvre. Il est vrai que par la suite beaucoup de mathématiciens, tels Roberval (VIII a) et Pascal (XH b), préfèrent voir, dans ces ordonnées de la courbe dont on fait la « somme », non des segments de droite comme Cavalieri, mais des rectangles de même hauteur infiniment petite, ce qui n’est pas un grand progrès du point de vue de la rigueur (quoi qu’en dise Roberval), mais empêche peut-être l’imagination de dérailler trop facilement. En tout cas, et comme il ne s’agit que de rapports, l’expression « la somme de toutes les ordonnées » de la courbe $y = f(x)$ , ou en abrégé « toutes les ordonnées » de la courbe, est en définitive, comme il apparaît bien par exemple dans les écrits de Pascal, l’équivalent exact du $\int y\, dx$ leibnizien.

Du langage adopté par Cavalieri, les principes énoncés plus haut s’ensuivent inévitablement, et entraînent aussitôt des conséquences que nous allons énoncer en notation moderne, étant entendu que $\int f\, dx$ y signifiera seulement l’aire comprise entre Ox et la courbe $y = f(x)$ . Tout d’abord, toute aire plane, coupée par chaque droite $x =$ constante suivant des segments dont la somme des longueurs est $f(x)$ , est égale à $\int f\, dx$ ; et il en est de même de tout volume coupé par chaque plan $x =$ constante suivant une aire de mesure $f(x)$ . De plus, $\int f\, dx$ dépend linéairement de $f$ ; on a $\int (f + g)\, dx = \int f\, dx + \int g\, dx, \int cf\, dx = c \int f\, dx$ . En particulier, tous les problèmes d’aires et de volumes sont ramenés aux quadratures, c’est-à-dire à des calculs d’aires de la forme $\int f\, dx$ ; et, ce qui est peut-être encore plus nouveau et important, on doit considérer comme équivalents deux problèmes dépendant de la même quadrature, et on a le moyen dans chaque cas de décider s’il en est ainsi. Les mathématiciens grecs n’ont jamais atteint (ou peut-être n’ont jamais consenti à atteindre) un tel degré d’« abstraction ». Ainsi ((VI), p. 133) Cavalieri « démontre » sans aucune peine que deux volumes semblables sont entre eux dans un rapport égal au cube du rapport de similitude, alors qu’Archimède n’énonce cette conclusion, pour les quadriques de révolution et leurs segments, qu’au terme de sa théorie de ces solides ((II), t. I, p. 258). Mais pour en arriver là il a fallu jeter la rigueur archimédienne par-dessus bord.

On avait donc là le moyen de classifier les problèmes, provisoirement du moins, suivant le degré de difficulté réel ou apparent que présentaient les quadratures dont ils relevaient. C’est à quoi l’algèbre de l’époque a servi de modèle: car en algèbre aussi, et dans les problèmes algébriques qui se posent en géométrie, alors que les Grecs ne s’étaient intéressés qu’aux solutions, les algébristes du xvi\textsuperscript{e} et du xvii\textsuperscript{e} siècle ont commencé à porter principalement leur attention sur la classification des problèmes suivant la nature des moyens qui peuvent servir à les résoudre, préludant ainsi à la théorie moderne des extensions algébriques; et ils n’avaient pas seulement procédé à une première classification des problèmes suivant le degré de l’équation dont ils dépendent, mais ils s’étaient déjà posé de difficiles questions de possibilité: possibilité de résoudre toute équation par radicaux (à laquelle beaucoup ne croyaient plus), etc. (voir Note historique du Livre II, chap. V); ils s’étaient préoccupés aussi de ramener à une forme géométrique type tous les problèmes d’un degré donné. De même en Calcul intégral, les principes de Cavalieri le mettent à même de reconnaître aussitôt que beaucoup des problèmes résolus par Archimède se ramènent à des quadratures $\int x^n dx$ pour $n = 1, 2, 3$ ; et il imagine une ingénieuse méthode pour effectuer cette quadrature pour autant de valeurs de $n$ qu’on veut (la méthode revient à observer qu’on a $\int_0^{2a} x^n dx = c_n a^{n+1}$ par homogénéité, et à écrire

\int_0^{2a} x^n dx = \int_{-a}^a (a + x)^n dx = \int_0^a ((a + x)^n + (a - x)^n) dx,

d’où, en développant, une relation de récurrence pour les

c_n

((VI a), p. 159 et (VI b), p. 269–273). Mais déjà Fermat était parvenu beaucoup plus loin, en démontrant d’abord (avant 1636) que

\int_0^a x^n dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}

pour

n

entier positif ((XI), t. II, p. 83), au moyen d’une formule pour les sommes de puissances des

N

premiers entiers (procédé imité de la quadrature de la spirale par Archimède), puis en étendant la même formule à tout

n

rationnel

\neq -1

((XI), t. I, p. 195–198); de ce dernier résultat (communiqué à Cavalieri en 1644) il ne rédige une démonstration que fort tard, à la suite de la lecture des écrits de Pascal sur l’intégration¹ (XI c).

Ces résultats, joints à des considérations géométriques qui tiennent lieu du changement de variables et de l’intégration par parties, permettent déjà de résoudre un grand nombre de problèmes qui se ramènent aux quadratures élémentaires. Au-delà, on rencontre d’abord la quadrature du cercle et celle de l’hyperbole: comme c’est surtout d’« intégrales indéfinies » qu’il s’agit à cette époque, la solution de ces problèmes, en termes modernes, est fournie respectivement par les fonctions circulaires réciproques et par la logarithme; celles-là étaient données géométriquement, et nous avons vu comment celui-ci s’est peu à peu introduit en analyse. Ces quadratures font l’objet de nombreux travaux, de Grégoire de St.-Vincent (IX), Huygens ((XVI c) et (XVI d)), Wallis (XV a), Gregory (XVII a); le premier croit effectuer la quadrature du cercle, le dernier croit démontrer la transcendance de $\pi$ ; chez les uns et les autres se développent des procédés d’approximation indéfinie des fonctions circulaires et logarithmiques, les uns de tendance théorique, d’autres orientés vers le calcul numérique, qui vont aboutir bientôt, avec Newton ((XIX a) et (XIX b)), Mercator (XIII), J. Gregory (XVII bis), puis Leibniz (XXII), à des méthodes générales de développement en série. En tout cas, la conviction se fait jour peu à peu de l’« impossibilité » des quadratures en question, c’est-à-dire du caractère non algébrique des fonctions qu’elles définissent; et en même temps, on s’accoutume à considérer qu’un problème est résolu pour autant que sa nature le comporte, lorsqu’il a été ramené

¹ Il est remarquable que Fermat, si scrupuleux, utilise l’additivité de l’intégrale, sans un mot pour la justifier, dans les applications qu’il donne de ses résultats généraux: se base-t-il sur la monotonie par morceaux, implicitement admise, des fonctions qu’il étudie, moyennant laquelle il n’est pas difficile en effet de justifier l’additivité par exhaustion? ou bien est-il déjà, en dépit de lui-même entraîné par le langage dont il se sert?

à l’une de ces quadratures « impossibles ». C’est le cas par exemple des problèmes sur la cycloïde, résolus par les fonctions circulaires, et de la rectification de la parabole, ramenée à la quadrature de l’hyperbole.

Les problèmes de rectification, dont nous venons de citer deux des plus fameux, ont eu une importance particulière, comme formant une transition géométrique naturelle entre la différentiation, qu’ils présupposent, et l’intégration dont ils relèvent; on peut leur associer les problèmes sur l’aire des surfaces de révolution. Les anciens n’avaient traité que le cas du cercle et de la sphère. Au xviiie siècle, ces questions n’apparaissent que fort tard; il semble que la difficulté, insurmontable pour l’époque, de la rectification de l’ellipse (considérée comme la courbe la plus simple après le cercle) ait découragé les efforts. Les méthodes cinématiques donnent quelque accès à ces problèmes, ce qui permet à Roberval (VIII b) et Torricelli ((VII), t. III, p. 103–159), entre 1640 et 1645, d’obtenir des résultats sur l’arc des spirales; mais c’est seulement dans les années qui précèdent 1660 qu’ils passent à l’ordre du jour; la cycloïde est rectifiée par Wren en 1658 ((XV), t. I, p. 533–541); peu après la courbe $y^3 = ax^2$ l’est par divers auteurs ((XV), t. I, p. 551–553; (X bis), p. 517–520; (XI d)), et plusieurs auteurs aussi ((XI), t. I, p. 199; (XVI), t. II, p. 224) ramènent la rectification de la parabole à la quadrature de l’hyperbole (c’est-à-dire à une fonction algébro-logarithmique). Ce dernier exemple est le plus important, car c’est un cas particulier du principe général d’après lequel la rectification d’une courbe $y = f(x)$ n’est pas autre chose que la quadrature de $y = \sqrt{1 + (f'(x))^2}$ ; et c’est bien de ce principe que Heurat le déduit. Il n’est pas moins intéressant de suivre les tâtonnements de Fermat vieillissant, dans son travail sur la courbe $y^3 = ax^2$ (XI d); à la courbe $y = f(x)$ d’arc $s = g(x)$ , il associe la courbe $y = g(x)$ , et détermine la tangente à celle-ci à partir de la tangente à la première (en langage moderne, il démontre que leurs pentes $f'(x)$ , $g'(x)$ sont liées par la relation

(g'(x))^2 = 1 + (f'(x))^2;

on se croit tout près de Barrow, et il n’y aurait qu’à combiner ce résultat avec celui de Heurat (ce que fait à peu près Gregory en 1668 ((XVII bis), p. 488–491)) pour obtenir la relation entre tangentes et quadratures; mais Fermat énonce seulement que si, pour deux courbes rapportées chacune à un système d’axes rectangulaires, les tangentes aux points de même abscisse ont toujours même pente, les courbes sont égales, ou autrement dit que la connaissance de

f'(x)

détermine

f(x)

(à une constante près); et il ne justifie cette assertion que par un raisonnement obscur sans aucune valeur probante.

Moins de dix ans plus tard, les Lectiones Geometricae de Barrow (XVIII) avaient paru. Dès le début (Lect. I), il pose en principe que, dans un mouvement rectiligne, les espaces sont proportionnels aux aires $\int_0^t v \, dt$ comprises entre l’axe des temps et la courbe des vitesses. On croirait qu’il va déduire de là, et de sa méthode cinématique déjà citée sur la détermination des tangentes, le lien entre la dérivée conçue comme pente de la tangente, et l’intégrale conçue comme aire; mais il n’en est rien, et il démontre plus loin, d’une manière purement géométrique ((XVIII), Lect. X, § 11, p. 243) que, si deux courbes $y = f(x)$ , $Y = F(x)$ sont telles que les ordonnées Y soient proportionnelles aux aires $\int_a^x y\, dx$ (c’est-à-dire si $c.F(x) = \int_a^x f(x)\, dx$ ), alors la tangente à $Y = F(x)$ coupe Ox au point d’abscisse $x - T$ déterminée par $y/Y = c/T$ ; la démonstration est d’ailleurs parfaitement précise, à partir de l’hypothèse explicite que $f(x)$ est monotone, et il est dit que le sens de variation de $f'(x)$ détermine le sens de la concavité de $Y = F(x)$ . Mais on notera que ce théorème se perd quelque peu parmi une foule d’autres, dont beaucoup fort intéressants; le lecteur non prévenu est tenté de n’y voir qu’un moyen de résoudre par quadrature le problème $Y/T = f(x)/c$ , c’est-à-dire un certain problème de détermination d’une courbe à partir de données sur sa tangente (ou, comme nous dirions, une équation différentielle d’un genre particulier); et cela d’autant plus que les applications qu’en donne Barrow concernent avant tout des problèmes du même genre (c’est-à-dire des équations différentielles intégrables par « séparation des variables »). Le langage géométrique que s’impose Barrow est ici cause que le lien entre différentiation et intégration, si clair tant qu’il s’agissait de cinématique, est quelque peu obscurci.

D’autre part, diverses méthodes avaient pris forme, pour ramener les problèmes d’intégration les uns aux autres, et les « résoudre » ou bien les réduire à des problèmes « impossibles » déjà classés. Sous sa forme géométrique la plus simple, l’intégration par parties consiste à écrire l’aire comprise entre Ox, Oy, et un arc de courbe monotone $y = f(x)$ joignant un point $(a, 0)$ de Ox à un point $(0, b)$ de Oy comme $\int_0^a y\, dx = \int_0^b x\, dy$ ; et elle est fréquemment utilisée d’une manière implicite. Chez Pascal ((XII c), p. 287–288) apparaît la généralisation suivante, déjà beaucoup plus cachée: $f(x)$ étant comme ci-dessus, soit $g(x)$ une fonction $\geqslant 0$ , et soit $G(x) = \int_0^x g(x)\, dx$ ; alors on a $\int_0^a yg(x)\, dx = \int_0^b G(x)\, dy$ , ce qu’il démontre ingénieusement en évaluant de deux manières le volume du solide $0 \leqslant x \leqslant a$ , $0 \leqslant y \leqslant f(x)$ , $0 \leqslant z \leqslant g(x)$ ; le cas particulier $g(x) = x^n$ , $G(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ joue un rôle important, à la fois chez Pascal (loc. cit., p. 289–291) et chez Fermat ((XI), t. I, p. 271); ce dernier (dont le travail porte le titre significatif de « Transmutation et émendation des équations des courbes, et ses applications variées à la comparaison des espaces curvilignes entre eux et avec les espaces rectilignes... ») ne le démontre pas, sans doute parce qu’il juge inutile de répéter ce que Pascal venait de publier. Ces théorèmes de « transmutation », où nous verrions une combinaison d’intégration par parties et de changement de variables, tiennent lieu en quelque mesure de celui-ci, qui ne s’introduit que fort tard; il est en effet contraire au mode de pensée, encore trop géométrique et trop peu analytique, de l’époque, de se permettre l’usage de variables autres que celles qu’impose la figure, c’est-à-dire l’une ou l’autre des coordonnées (ou parfois des coordonnées polaires), puis l’arc de la courbe. C’est ainsi que nous trouvons chez Pascal (XII d) des résultats qui, en notation moderne, s’écrivent, en posant $x = \cos t,\ y = \sin t$ , et pour des fonctions $f(x)$ particulières:

\int_0^1 f(x)\ dx = \int_0^{\pi/2} f(x)y\ dt,

et, chez J. Gregory ((XVII bis), p. 489), pour une courbe $y = f(x)$ et son arc $s$ , $\int y\ ds = \int z\ dx$ , avec $z = y\sqrt{1 + {y'}^2}$ . C’est seulement en 1669 que nous voyons Barrow en possession du théorème général de changement de variables ((XVIII), p. 298–299); son énoncé, géométrique comme toujours, revient à ce qui suit: soient $x$ et $y$ reliés par une relation monotone, et soit $p$ la pente du graphe de cette relation au point $(x, y)$ ; alors, si les fonctions $f(x),\ g(y)$ sont telles qu’on ait $f(x)/g(y) = p$ pour tout couple de valeurs $(x, y)$ correspondantes, les aires $\int f(x)\ dx,\ \int g(y)\ dy$ , prises entre limites correspondantes, sont égales; et réciproquement, si ces aires sont toujours égales ( $f$ et $g$ étant implicitement supposées de signe constant), on a $p = f(x)/g(y)$ ; la réciproque sert naturellement à appliquer le théorème à la résolution d’équations différentielles (par « séparation des variables »). Mais le théorème n’est inséré par Barrow que dans un appendice (Lect. XII, app. III, theor. IV), où, en faisant observer que beaucoup de ses résultats précédents n’en sont que des cas particuliers, il s’excuse de l’avoir découvert trop tard pour en faire plus d’usage.

Donc, vers 1670, la situation est la suivante. On sait traiter, par des procédés uniformes, les problèmes qui relèvent de la dérivée première, et Huygens a abordé des questions géométriques qui relèvent de la dérivée seconde. On sait ramener tous les problèmes d’intégration aux quadratures; on est en possession de techniques variées, d’aspect géométrique, pour ramener des quadratures les unes aux autres, dans des cas mal classifiés, et on s’est habitué, de ce point de vue, au maniement des fonctions circulaires et logarithmique; on a pris conscience du lien entre différentiation et intégration; on a commencé à aborder la « méthode inverse des tangentes », nom donné à cette époque aux problèmes qui se rattachent aux équations différentielles du premier ordre. La découverte sensationnelle de la série $\log (1 + x) = - \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^n/n$ par Mercator vient d’ouvrir des perspectives toutes nouvelles sur l’application des séries, et principalement des séries de puissances, aux problèmes dits « impossibles ». En revanche les rangs des mathématiciens se sont singulièrement éclaircis: Barrow a quitté la chaire du professeur pour celle du prédicateur; Huygens mis à part (qui a presque toute son œuvre mathématique derrière lui, ayant obtenu déjà tous les principaux résultats de l’Horologium Oscillatorium qu’il se dispose à rédiger définitivement), ne sont actifs que Newton à Cambridge, et J. Gregory isolé à Aberdeen, auxquels Leibniz s’adjoindra bientôt avec une ardeur de néophyte. Tous trois, Newton à partir de 1665 déjà, J. Gregory à partir de la publication de Mercator en 1668,

Leibniz à partir de 1673 environ, se consacrent principalement au sujet d’actualité, l’étude des séries de puissances. Mais, du point de vue de la classification des problèmes, le principal effet des nouvelles méthodes semble être d’oblitérer entre eux toute distinction; et en effet Newton, plus analyste qu’algébriste, n’hésite pas à annoncer à Leibniz en 1676 ((XXII), p. 224) qu’il sait résoudre toutes les équations différentielles¹; à quoi Leibniz répond ((XXII), p. 248–249) qu’il s’agit au contraire d’obtenir la solution en termes finis chaque fois qu’il se peut « en supposant les quadratures », et aussi de savoir si toute quadrature peut se ramener à celles du cercle et de l’hyperbole comme cela a été constaté dans la plupart des cas déjà étudiés; il rappelle à ce propos que Gregory croyait (avec raison, nous le savons aujourd’hui) la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole irréductibles aux quadratures du cercle et de l’hyperbole; et Leibniz demande jusqu’à quel point la méthode des séries, telle que Newton l’emploie, peut donner la réponse à ces questions. Newton, de son côté ((XXII), p. 209–211), se déclare en possession de critères, qu’il n’indique pas, pour décider, apparemment par l’examen des séries, de la « possibilité » de certaines quadratures (en termes finis), et donne en exemple une série (fort intéressante) pour l’intégrale $\int x^a(1 + x)^b\ dx$ .

On voit l’immense progrès réalisé en moins de dix ans: les questions de classification se posent déjà dans ces lettres en termes tout modernes; si l’une de celles que soulève Leibniz a été résolue au xixe siècle par la théorie des intégrales abéliennes, l’autre, sur la possibilité de ramener aux quadratures une équation différentielle donnée, est encore ouverte malgré d’importants travaux récents. S’il en est ainsi, c’est que déjà Newton et Leibniz, chacun pour son propre compte, ont réduit à un algorithme les opérations fondamentales du calcul infinitésimal; il suffit d’écrire, dans les notations dont se sert l’un ou l’autre, un problème de quadrature ou d’équation différentielle, pour que sa structure algébrique apparaisse aussitôt, dégagée de sa gangue géométrique; les méthodes de « transmutation » aussi s’écrivent en termes analytiques simples; les problèmes de classification se posent de façon précise. Mathématiquement parlant, le xviiie siècle a pris fin.

E) Interpolation et calcul des différences. Ce thème (dont nous ne séparons pas l’étude des coefficients du binôme) apparaît de bonne heure et se continue à travers tout le siècle, pour des raisons à la fois théoriques et pratiques. L’une des grandes tâches de l’époque est en effet le calcul des tables trigonométriques, logarithmiques, nautiques, rendues nécessaires par les rapides progrès de la géographie, de la navigation, de l’astronomie théorique et pratique, de la physique, de la mécanique céleste; et beaucoup de mathématiciens les plus éminents, de Képler à Huygens et Newton, y participent, soit directement, soit par la recherche théorique des procédés d’approximation les plus efficaces.

¹ Au cours de cet échange de lettres, qui ne se fait pas directement entre les intéressés mais officiellement par l’intermédiaire du secrétaire de la Royal Society, Newton « prend date » en énonçant sa méthode comme suit: Saccade 10effh 12i... rrrssssstttuu, anagramme où se trouve renfermée la méthode de résolution par une série de puissances à coefficients indéterminés ((XXII), p. 224).

L’un des premiers problèmes, dans l’usage et même la confection des tables, est celui de l’interpolation; et, à mesure que s’accroît la précision des calculs, on s’aperçoit au xvii\textsuperscript{e} siècle que l’antique procédé de l’interpolation linéaire perd sa validité dès que les différences premières (différences entre les valeurs successives figurant dans la table) cessent d’être sensiblement constantes; aussi voit-on Briggs par exemple\footnote{H. Briggs, Arithmetica logarithmica, London, 1624, chap. XIII.} faire usage de différences d’ordre supérieur, et même d’ordre assez élevé, dans le calcul des logarithmes. Plus tard, nous voyons Newton ((XIX d) et (XX), livre III, lemme 5)\footnote{Voir aussi D. C. Fraser, Newton’s Interpolation Formulas, Journ. Inst. Actuaries, t. 51 (1918), p. 77–106 et p. 211–232, ct t .58 (1927), p. 53–95 (articles réimprimés en plaquette, London (sans date)).} et J. Gregory ((XVII bis), p. 119–120), chacun de son côté, poursuivre parallèlement des recherches sur l’interpolation et sur les séries de puissances; l’un et l’autre aboutit, par des méthodes d’ailleurs différentes, d’une part à la formule d’interpolation par polynômes, dite « de Newton », et de l’autre à la série du binôme ((XVII bis), p. 131; (XXII), p. 180) et aux principaux développements en séries de puissances de l’analyse classique ((XVII bis); (XIX a et d) et (XXII), p. 179–192 et 203–225); il n’est guère douteux que ces deux ordres de recherches n’aient réagi l’un sur l’autre, et n’aient été intimement liés aussi dans l’esprit de Newton à la découverte des principes du calcul infinitésimal. Chez Gregory comme chez Newton se fait jour un grand souci de la pratique numérique, de la construction et de l’usage des tables, du calcul numérique des séries et des intégrales; en particulier, bien qu’on ne trouve chez eux aucune démonstration soignée de convergence, dans le genre de celle de Lord Brouncker citée plus haut, tous deux font constamment mention de la convergence de leurs séries du point de vue pratique de leur aptitude au calcul. C’est ainsi encore que nous voyons Newton, en réponse à une question posée par Collins pour des fins pratiques\footnote{Cf. St. P. Rigaud, Correspondence of scientific men..., Oxford, 1841, t. II, p. 309–310.}, appliquer au calcul approché de $\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{n + p}$ , pour de grandes valeurs de N, la méthode de sommation dite d’Euler–Maclaurin.

On rencontre aussi de bonne heure le calcul des valeurs d’une fonction à partir de leurs différences, employé comme procédé pratique d’intégration, et même, peut-on dire, d’intégration d’équation différentielle. Ainsi Wright, en 1599, ayant à résoudre en vue de tables nautiques un problème que nous noterions

\frac{dx}{dt} = \sec t = \frac{1}{\cos t},

procède par addition des valeurs de sec t, par intervalles successifs d’une seconde d’arc\footnote{Ed. Wright, Table of Latitudes, 1599 (cf. Napier Memorial Volume, 1914, p. 97).}, obtenant naturellement à peu de chose près une table des valeurs de log tg ( $\pi/4 + t/2$ ); et cette coïncidence, observée dès le calcul des premières tables de log tg t, demeura inexpliquée jusqu’à l’intégration de sec t par Gregory en 1668 ((XVII c) et (XVII bis) p. 7 et 463).

Mais ces questions ont aussi un aspect purement théorique et même arithmétique. Convenons de noter par $\Delta^r x_n$ les suites de différences successives d'une suite $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ définies par récurrence au moyen de $\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$ ,

\Delta^r x_n = \Delta(\Delta^{r-1} x_n),

et de noter par $S^r$ l'opération inverse de $\Delta$ et ses itérées, en posant donc $y_n = Sx_n$ si $y_0 = 0,\ \Delta y_n = x_n,$ et $S^r x_n = S(S^{r-1} x_n);$ on a $S^r x_n = \sum_{p=0}^{n-r} \binom{n-p-1}{r-1} x_p$ en particulier, si $x_n = 1$ pour tout $n$ , on a $Sx_n = n$ , les suites $S^2 x_n$ et $S^3 x_n$ sont celles des nombres « triangulaires » et « pyramidaux » étudiés déjà par les arithméticiens grecs, et on a en général $S^r x_n = \binom{n}{r}$ pour $n \geq r$ (et $S^r x_n = 0$ pour $n < r$ ); ces suites s'étaient introduites, de ce point de vue, en tout cas dès le xvii\textsuperscript{e} siècle; elles apparaissent d'elles-mêmes aussi dans les problèmes combinatoires, qui, soit par eux-mêmes, soit à propos de probabilités, ont joué un assez grand rôle dans les mathématiques du xvii\textsuperscript{e} siècle, par exemple chez Fermat et Pascal, puis chez Leibniz. Elles se présentent aussi dans l'expression de la somme des $m$ -èmes puissances des $N$ premiers entiers, dont le calcul, comme nous l'avons vu, est à la base de l'intégration de $\int x^m dx$ pour $m$ entier, par la première méthode de Fermat ((XI), t. II, p. 83). C'est ainsi que procède aussi Wallis en 1655 dans son Arithmetica Infinitorum (XV a) sans connaître les travaux (non publiés) de Fermat, et sans connaître non plus, dit-il, la méthode des indivisibles autrement que par la lecture de Torricelli; il est vrai que Wallis, pressé d'aboutir, ne s'attarde pas à une recherche minutieuse: une fois le résultat atteint pour les premières valeurs entières de $m$ , il le pose vrai « par induction » pour tout $m$ entier, passe correctement de là à $m = 1/n$ pour $n$ entier, puis, par une « induction » encore plus sommaire que la première, à $m$ rationnel quelconque. Mais ce qui fait l'intérêt et l'originalité de son travail, c'est qu'il s'élève progressivement de là à l'étude de l'intégrale « eulérienne » $I(m, n) = \int_0^1 (1 - x^{1/m})^n dx$ (dont la valeur, pour $m$ et $n > 0$ est $\Gamma(m + 1)\Gamma(n + 1)/\Gamma(m + n + 1)$ ) et autres semblables, dresse, pour $m$ et $n$ entiers, le tableau des valeurs de $1/I(m, n)$ qui n'est autre que celui des entiers $\binom{m+n}{n}$ , et, par des méthodes presque identiques à celles qu'on emploie aujourd'hui pour exposer la théorie de la fonction $\Gamma$ , aboutit au produit infini pour $I(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi/4 = (\Gamma(\frac{3}{2}))^2$ ; il n'est pas difficile d'ailleurs de rendre sa méthode correcte au moyen d'intégrations par parties et de changements de variables très simples, et de la considération de $I(m, n)$ pour toutes les valeurs réelles de $m$ et $n$ , ce à quoi il ne pouvait guère songer, mais que l'analyse newtonienne allait bientôt rendre possible. C'est en tout cas l'« interpolation » effectuée par Wallis des entiers $\binom{m+n}{n}$ à des valeurs non entières de $m$ (plus précisément aux valeurs de la forme $n = p/2$ , avec $p$ entier impair) qui sert de point de départ à Newton débutant ((XXII), p. 204–206), l’amenant, d’abord par l’étude du cas particulier $(1 - x^2)^{n/2}$ , à la série du binôme, puis de là à l’introduction de $x^a$ (ainsi noté) pour tout $a$ réel, et à la différentiation de $x^a$ au moyen de la série du binôme; tout cela sans grand effort pour obtenir des démonstrations ni même des définitions rigoureuses; de plus, innovation remarquable, c’est de la connaissance de la dérivée de $x^a$ qu’il déduit $\int x^a dx$ pour $a \neq -1$ ((XIX a) et (XXII), p. 225). Du reste, et bien qu’il ait été bientôt en possession de méthodes beaucoup plus générales de développement en série de puissances, telles la méthode dite du polygone de Newton (pour les fonctions algébriques) ((XXII), p. 221) et celle des coefficients indéterminés, il revient maintes fois par la suite, avec une sorte de prédilection, à la série du binôme et à ses généralisations; et c’est de là, par exemple, qu’il semble avoir tiré le développement de $\int x^a(1 + x)^b dx$ dont il a été question plus haut ((XXII), p. 209).

L’évolution des idées sur le continent, cependant, est fort différente, et beaucoup plus abstraite. Pascal s’était rencontré avec Fermat dans l’étude des coefficients du binôme (dont il forme ce qu’il nomme le « triangle arithmétique ») et leur emploi en calcul des probabilités et en calcul des différences; lorsqu’il aborde l’intégration, il y introduit les mêmes idées. Comme ses prédécesseurs, quand il emploie le langage des indivisibles, il conçoit l’intégrale $F(x) = \int_0^x f(x) dx$ comme valeur du rapport de la « somme de toutes les ordonnées de la courbe »

S\left(f\left(\frac{n}{N}\right)\right) = \sum_{0 < p < N} f\left(\frac{p}{N}\right),

à l’« unité » $N = \sum_{0 < p < N} 1$ pour $N = \infty$ ((XII b), p. 352–355) (ou, lorsqu’il abandonne ce langage pour le langage correct par exhaustion, comme limite de ce rapport pour $N$ augmentant indéfiniment). Mais, ayant en vue des problèmes de moments, il observe que, lorsqu’il s’agit de masses discrètes $y_t$ réparties à intervalles équidistants, le calcul de la masse totale revient à l’opération $S y_n$ définie plus haut, et le calcul du moment à l’opération $S^2 y_n$ ; et, par analogie, il itère l’opération $\int$ pour former ce qu’il nomme les « sommes triangulaires des ordonnées », donc, dans notre langage, les limites des sommes $N^{-2} S^2(f(n/N))$ , c’est-à-dire les intégrales $F_2(x) = \int_0^x F(x) dx$ ; une nouvelle itération lui donne les « sommes pyramidales » $F_3(x) = \int_0^x F_2(x) dx$ , limites de $N^{-3} S^3(f(n/N))$ ; le contexte marque d’ailleurs suffisamment que, s’il s’arrête là, ce n’est pas par défaut de généralité dans sa pensée ni dans son langage, mais seulement parce qu’il ne compte se servir que de celles-là, dont l’emploi systématique est à la base d’une bonne partie de ses résultats, et dont il démontre aussitôt les propriétés que nous écririons $F_2(x) = \int_0^x (x - u)f(u) du,\quad F_3(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x - u)^2f(u) du$ ((XII b), p. 361–367); tout cela sans écrire une seule formule, mais dans un langage si transparent et si précis qu’on peut immédiatement le transcrire en formules comme il vient d’être fait. Chez Pascal comme chez ses prédécesseurs, mais d’une manière beaucoup plus nette et systématique, le choix de la variable indépendante (qui est toujours l’une des coordonnées, ou bien l’arc sur la courbe) est implicite dans la convention qui fixe les points de subdivision équidistants (bien qu’« infiniment voisins ») de l’intervalle d’intégration; ces points, suivant le cas, sont, soit sur Ox, soit sur Oy, soit sur l’arc de courbe, et Pascal prend soin de ne jamais laisser subsister aucune ambiguïté à ce sujet ((XII b), p. 368–369). Lorsqu’il a à changer de variable, il le fait au moyen d’un principe qui revient à dire que l’aire $\int f(x)\ dx$ peut s’écrire $S(f(x_i)\ \Delta x_i)$ pour toute subdivision de l’intervalle d’intégration en intervalles « infiniment petits » $\Delta x_i$ , égaux ou non ((XII d), p. 61–68).

Comme on voit, on est déjà tout près de Leibniz; et c’est, peut-on dire, un hasard heureux que celui-ci, lorsqu’il voulut s’initier aux mathématiques modernes, ait rencontré Huygens, qui lui mit aussitôt les écrits de Pascal entre les mains ((XXII), p. 407–408); il y était particulièrement préparé par ses réflexions sur l’analyse combinatoire, et nous savons qu’il en fit une étude approfondie, qui se reflète dans son œuvre. En 1675, nous le voyons transcrire le théorème de Pascal cité ci-dessus, sous la forme $\operatorname{omn}(x\omega) = x.\operatorname{omn}\omega - \operatorname{omn}(\operatorname{omn}\omega)$ , où $\operatorname{omn}\omega$ est une abréviation pour l’intégrale de $\omega$ prise de 0 à $x$ , à laquelle Leibniz, quelques jours plus tard, substitue $\int \omega$ (initiale de « summa omnium $\omega$ ») en même temps qu’il introduit $d$ pour la « différence » infiniment petite, ou, comme il dira bientôt, la différentielle ((XXII), p. 147–167). Concevant ces « différences » comme des grandeurs comparables entre elles mais non aux grandeurs finies, il prend d’ailleurs le plus souvent, explicitement ou non, la différentielle $dx$ de la variable indépendante $x$ comme unité, $dx = 1$ (ce qui revient à identifier la différentielle $dy$ avec la dérivée $dy/dx$ ), et au début l’omet de sa notation de l’intégrale, qui apparaît donc comme $\int y$ plutôt que comme $\int y\ dx$ ; mais il ne tarde guère à introduire celle-ci, et s’y tient systématiquement une fois qu’il en aperçoit le caractère invariant par rapport au choix de la variable indépendante, qui dispense d’avoir ce choix constamment présent à l’esprit¹; et il ne marque pas peu de satisfaction, lorsqu’il revient à l’étude de Barrow qu’il avait jusque-là négligé, en constantant que le théorème général de changement de variable, dont Barrow faisait si grand cas, découle immédiatement de sa propre notation ((XXII), p. 412). En tout ceci du reste, il se tient très près du calcul des différences, dont son calcul différentiel se déduit par un passage à la limite que bien entendu il serait fort en peine de justifier rigoureusement; et par la suite il insiste volontiers sur le fait que ses principes s’appliquent indifféremment à l’un et à l’autre. Il cite

¹ « J’avertis qu’on prenne garde de ne pas omettre dx... faute fréquemment commise, et qui empêche d’aller de l’avant, du fait qu’on ôte par là à ces indivisibles, comme ici dx, leur généralité... de laquelle naissent d’innombrables transfigurations et équipollences de figures. » ((XXI b), p. 233).

expressément Pascal, par exemple, lorsque dans sa correspondance avec Johann Bernoulli ((XXI), t. III, p. 156), se référant à ses premières recherches, il donne une formule de calcul des différences qui est un cas particulier de celle de Newton,

et en déduit par « passage à la limite » la formule $y = \sum_{1}^{\infty} (-1)^n \frac{d^n y}{dx^n} \frac{x^n}{n!}$ (où $y$ est une fonction s’annulant pour $x = 0$ , et les $d^n y / dx^n$ sont ses dérivées pour la valeur $x$ de la variable), formule équivalente à une semblable que vient de lui communiquer Bernoulli ((XXI), t. III, p. 150) et (XXIV), t. I, p. 125–128), et que celui-ci démontre par intégrations par parties successives. Cette formule, comme on voit, est très voisine de la série de Taylor; et c’est le raisonnement même de Leibniz, par passage à la limite à partir du calcul des différences, que Taylor retrouve en 1715 pour obtenir « sa » série¹, sans d’ailleurs faire de celle-ci grand usage.

F) On aura déjà aperçu, implicite dans l’évolution décrite plus haut, l’algébrisation progressive de l’analyse infinitésimale, c’est-à-dire sa réduction à un calcul opérationnel muni d’un système de notations uniforme de caractère algébrique. Comme Leibniz l’a maintes fois indiqué avec une parfaite netteté ((XXI b) p. 230–233), il s’agissait de faire pour la nouvelle analyse ce que Viète avait fait pour la théorie des équations, et Descartes pour la géométrie. Pour en comprendre la nécessité, il n’est que de lire quelques pages de Barrow; à aucun moment on ne peut se passer d’avoir sous les yeux une figure parfois compliquée, décrite au préalable avec un soin minutieux; il ne faut pas moins de 180 figures pour les 100 pages (Lect. V-XIII) qui forment l’essentiel de l’ouvrage.

Il ne pouvait guère être question d’algébrisation, il est vrai, avant que quelque unité ne fût apparue à travers la multiplicité des apparences géométriques. Cependant Grégoire de St. Vincent (IX) déjà introduit (sous le nom de « ductus plani in planum ») une sorte de loi de composition qui revient à l’emploi systématique d’intégrales $\int_a^b f(x)g(x)\, dx$ considérées comme volumes de solides $a \leq x \leq b,\ 0 \leq y \leq f(x),\ 0 \leq z \leq g(x)$ ; mais il est loin d’en tirer les conséquences que plus tard Pascal déduit, comme on a vu, de l’étude du même solide. Wallis en 1655, et Pascal en 1658, se forgent, chacun à son usage, des langages de caractère algébrique, dans lesquels, sans écrire aucune formule, ils rédigent des énoncés qu’on peut immédiatement transcrire en formules de calcul intégral dès qu’on en a compris le mécanisme. Le langage de Pascal est particulièrement clair et précis; et, si l’on ne comprend pas pourquoi il s’est refusé l’usage des

¹ B. Taylor, Methodus Incrementorum directa et inversa, Lond., 1715. Pour le calcul des différences, Taylor pouvait naturellement s’appuyer sur les résultats de Newton, contenus dans un lemme fameux des Principia ((XX), Livre III, lemme 5) et publiés plus amplement en 1711 (XIX d). Quant à l’idée de passer à la limite, elle semble typiquement leibnizienne; et l’on aurait peine à croire à l’originalité de Taylor sur ce point si on ne connaissait de tout temps maints exemples de disciples ignorants de tout hormis des écrits de leur maître et patron. Taylor ne cite ni Leibniz ni Bernoulli; mais la controverse Newton-Leibniz faisait rage, Taylor était secrétaire de la Royal Society et Sir Isaac en était le tout-puissant président.

notations algébriques, non seulement de Descartes, mais même de Viète, on ne peut qu’admirer le tour de force qu’il accomplit, et dont sa maîtrise de la langue l’a seule rendu capable.

Mais qu’on laisse passer quelques années, et tout change de face. Newton le premier conçoit l’idée décisive de remplacer toutes les opérations, de caractère géométrique, de l’analyse infinitésimale contemporaine, par une opération analytique unique, la différentiation, et par la résolution du problème inverse; opération que bien entendu la méthode des séries de puissances lui permettait d’exécuter avec une extrême facilité. Empruntant son langage, nous l’avons vu, à la fiction d’un paramètre « temporel » universel, il qualifie de « fluentes » les quantités variables en fonction de ce paramètre, et de « fluxions » leurs dérivées. Il ne paraît pas avoir attaché une importance particulière aux notations, et ses séides plus tard vantent même comme un avantage l’absence d’une notation systématique; il prend néanmoins de bonne heure, pour son usage personnel, l’habitude de noter la fluxion par un point, donc $dx/dt$ par $\dot{x}$ , $d^2x/dt^2$ par $\ddot{x}$ , etc. Quant à l’intégration, il semble bien que Newton, tout comme Barrow, ne l’ait jamais envisagée que comme problème (trouver la fluente connaissant la fluxion, donc résoudre $\dot{x} = f(t)$ ), et non comme opération; aussi n’a-t-il pas de nom pour l’intégrale, ni, semble-t-il, de notation habituelle (sauf quelquefois un carré, $\int f(t)$ ou $\square f(t)$ pour $\int f(t)\,dt$ ). Est-ce parce qu’il répugne à donner un nom et un signe à un être qui n’est pas défini d’une manière unique, mais seulement à une constante additive près? Faute d’un texte, on ne peut que poser la question.

Autant Newton est empirique, concret, circonspect en ses plus grandes hardiesses, autant Leibniz est systématique, généralisateur, novateur aventureux et parfois téméraire. Dès sa jeunesse, il eut en tête l’idée d’une « caractéristique » ou langue symbolique universelle, qui devait être à l’ensemble de la pensée humaine ce que la notation algébrique est à l’algèbre, où tout nom ou signe eût été la clef de toutes les qualités de la chose signifiée, et qu’on n’eût pu employer correctement sans du même coup raisonner correctement. Il est aisé de traiter un tel projet de chimérique; ce n’est pas un hasard pourtant que son auteur ait été l’homme même qui devait bientôt reconnaître et isoler les concepts fondamentaux du calcul infinitésimal, et donner celui-ci de notations à peu près définitives. Nous avons déjà assisté plus haut à la naissance de celles-ci, et observé le soin avec lequel Leibniz, qui semble conscient de sa mission, les modifie progressivement jusqu’à leur assurer la simplicité et surtout l’invariance qu’il recherche (XXI a et b). Ce qu’il importe de marquer ici, c’est, dès qu’il les introduit (sans rien connaître encore des idées de Newton), la claire conception de $\int$ et de $d$ , de l’intégrale et de la différentielle, comme opérateurs inverses l’un de l’autre. Il est vrai qu’en procédant ainsi il ne peut éviter l’ambiguïté inhérente à l’intégrale indéfinie, qui est le point faible de son système, sur lequel il glisse adroitement, de même que ses successeurs. Mais ce qui frappe, dès la première apparition des nouveaux symboles, c’est de voir Leibniz occupé aussitôt à en formuler les règles d’emploi, se demander si $d(xy) = dx\ dy$ ((XXII), p. 16–166), et se répondre à lui-même par la négative, pour en venir progressivement à la règle correcte (XXI e), qu’il devait plus tard généraliser par sa fameuse formule pour $d^n(xy)$ ((XXI), t. III, p. 175). Bien entendu, au moment où Leibniz tâtonne ainsi, Newton sait depuis dix ans déjà que $z = xy$ entraîne $\dot{z} = \dot{x}y + x\dot{y}$ ; mais il ne prend jamais la peine de le dire, n’y voyant qu’un cas particulier, indigne d’être nommé, de sa règle pour différencier une relation $F(x, y, z) = 0$ entre fluentes. Au contraire, le principal souci de Leibniz n’est pas de faire servir ses méthodes à la résolution de tels problèmes concrets, ni non plus de les déduire de principes rigoureux et inattaquables, mais avant tout de mettre sur pied un algorithme reposant sur le maniement formel de quelques règles simples. C’est dans cet esprit qu’il améliore la notation algébrique par l’emploi des parenthèses, qu’il adopte progressivement log $x$ ou $lx$ pour le logarithme¹, et qu’il insiste sur le « calcul exponentiel », c’est-à-dire la considération systématique d’exponentielles, $a^x, x^x, x^y$ , où l’exposant est une variable. Surtout, tandis que Newton n’introduit les fluxions d’ordre supérieur que strictement dans la mesure où elles sont nécessaires dans chaque cas concret, Leibniz s’oriente de bonne heure vers la création d’un « calcul opérationnel » par l’itération de $d$ et de $\int$ ; prenant peu à peu claire conscience de l’analogie entre la multiplication des nombres et la composition des opérateurs de son calcul, il adopte, par une hardiesse heureuse, la notation par exposants pour écrire les itérés de $d$ , écrivant donc $d^n$ pour le $n$ -ème itéré ((XXII), p. 595 et 601², et (XXI), t. V, p. 221 et 378) et même $d^{-1}, d^{-n}$ pour $\int$ et ses itérés ((XXI), t. III, p. 167); et il cherche même à donner un sens à $d^\alpha$ pour $\alpha$ réel quelconque ((XXI), t. II, p. 301–302, et t. III, p. 228).

Ce n’est pas à dire que Leibniz ne s’intéresse aussi aux applications de son calcul, sachant bien (comme Huygens le lui répète souvent ((XXII), p. 599)) qu’elles en sont la pierre de touche; mais il manque de patience pour les approfondir, et y cherche surtout l’occasion de formuler de nouvelles règles générales. C’est ainsi qu’en 1686 (XXI c) il traite de la courbure des courbes, et du cercle osculateur, pour aboutir en 1692 (XXI d) aux principes généraux sur le contact des courbes planes³; en 1692 (XXI e) et 1694 (XXI f) il pose les bases de la

¹ Mais il n’a pas de signe pour les fonctions trigonométriques, ni (faute d’un symbole pour $e$ ) pour le « nombre dont le logarithme est $x$ ».

² « ...c’est à peu près comme si, au lieu des racines et puissances, on vouloit toujours substituer des lettres, et au lieu de $xx$ , ou $x^3$ , prendre $m$ , ou $n$ , après avoir déclaré que ce doivent être les puissances de la grandeur $x$ . Jugés, Mons., combien cela embarrasseroit. Il en est de même de $dx$ ou de $ddx$ , et les différences ne sont pas moins des affections des grandeurs indéterminées dans leurs lieux, que les puissances sont des affections d’une grandeur prise à part. Il me semble donc qu’il est plus naturel de les designer en sortie qu’elles fassent connaître immédiatement la grandeur dont elles sont les affections. »

³ Il commet d’abord là-dessus une erreur singulière, croyant que le « cercle qui baisse » (le cercle osculateur) a au point de contact quatre points communs avec la courbe; et il ne se rend qu’avec peine, par la suite, aux objections des frères Bernoulli à ce sujet ((XXI), t. III, p. 187–188, 201–202 et 207).

théorie des enveloppes; concurremment avec Johann Bernoulli, il effectue en 1702 et 1703 l'intégration des fractions rationnelles par décomposition en éléments simples, mais d'abord d'une manière formelle et sans bien se rendre compte des circonstances qui accompagnent la présence de facteurs linéaires complexes au dénominateur (XXI g et h). C'est ainsi encore qu'un jour d'août 1697, méditant en voiture sur des questions de calcul des variations, il a l'idée de la règle de différentiation par rapport à un paramètre sous le signe $\int$ , et, enthousiasmé, la mande aussitôt à Bernoulli ((XXI), t. III, p. 449–454). Mais lorsqu'il en est là, les principes fondamentaux de son calcul sont acquis depuis longtemps, et l'usage a commencé à s'en répandre: l'algébrisation de l'analyse infinitésimale est un fait accompli.

G) La notion de fonction s'introduit et se précise d'une foule de manières au cours du xvii\textsuperscript{e} siècle. Toute cinématique repose sur une idée intuitive, et en quelque sorte expérimentale, de quantités variables avec le temps, c'est-à-dire de fonctions du temps, et nous avons vu déjà comment on aboutit ainsi à la fonction d'un paramètre, telle qu'elle apparaît chez Barrow, et, sous le nom de fluente, chez Newton. La notion de « courbe quelconque » apparaît souvent, mais est rarement précisée; il se peut que souvent elle ait été conçue sous forme cinématique ou en tout cas expérimentale, et sans qu'on jugeât nécessaire qu'une courbe soit susceptible d'une caractérisation géométrique ou analytique pour pouvoir servir d'objet aux raisonnements; il en est ainsi, en particulier (pour des raisons que nous sommes mieux à même de comprendre aujourd'hui) lorsqu'il s'agit d'intégration, par exemple chez Cavalieri, Pascal et Barrow; ce dernier, raisonnant sur la courbe définie par $x = ct, y = f(t)$ , avec l'hypothèse que $dy/dt$ soit croissante, dit même expressément qu'« il n'importe en rien » que $dy/dt$ croisse « régulièrement suivant une loi quelconque, ou bien irrégulièrement » ((XVIII), p. 191) c'est-à-dire, comme nous dirions, soit susceptible ou non d'une définition analytique. Malheureusement cette idée claire et féconde, qui devait, convenablement précisée, reparaître au xix\textsuperscript{e} siècle, ne pouvait alors lutter contre la confusion créée par Descartes, lorsque celui-ci avait, en premier lieu, banni de la « géométrie » toutes les courbes non susceptibles d'une définition analytique précise, et en second lieu restreint aux seules opérations algébriques les procédés de formation admissibles dans une telle définition. Il est vrai que, sur ce dernier point, il n'est pas suivi par la majorité de ses contemporains; peu à peu, et souvent par des détours fort subtils, diverses opérations transcendantes, le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques, les quadratures, la résolution d'équations différentielles, le passage à la limite, la sommation des séries, acquièrent droit de cité, sans qu'il soit facile sur chaque point de marquer le moment précis où se fait le pas en avant; et d'ailleurs le premier pas en avant est souvent suivi d'un pas en arrière. Pour le logarithme, par exemple, on doit considérer comme des étapes importantes l'apparition de la courbe logarithmique ( $y = a^x$ ou $y = \log x$ suivant le choix des axes), de la spirale logarithmique, la quadrature de l’hyperbole, le développement en série de log $(1 + x)$ , et même l’adoption du symbole $\log x$ ou $lx$ . En ce qui concerne les fonctions trigonométriques, et bien qu’en un certain sens elles remontent à l’antiquité, il est intéressant d’observer que la sinusoïde n’apparaît pas d’abord comme définie par une équation $y = \sin x$ , mais bien, chez Roberval ((VIII a), p. 63–65), comme « compagnie de la roulette » (en l’espèce, il s’agit de la courbe

y = R \left( 1 - \cos \frac{x}{R} \right),

c’est-à-dire comme courbe auxiliaire dont la définition est déduite de celle de la cycloïde. Pour rencontrer la notion générale d’expression analytique, il faut en venir à J. Gregory, qui la définit en 1667 ((XVI bis), p. 413), comme une quantité qui s’obtient à partir d’autres quantités par une succession d’opérations algébriques « ou de toute autre opération imaginable »; et il essaie de préciser cette notion dans sa préface ((XVI bis), p. 408–409), en expliquant la nécessité d’adjoindre aux cinq opérations de l’algèbre¹ une sixième opération, qui en définitive n’est autre que le passage à la limite. Mais ces intéressantes réflexions sont bientôt oubliées, submergées par le torrent des développements en série découverts par Gregory lui-même, Newton, et d’autres; et le prodigieux succès de cette dernière méthode crée une confusion durable entre fonctions susceptibles de définition analytique, et fonctions développables en série de puissances.

Quant à Leibniz, il semble s’en tenir au point de vue cartésien, élargi par l’adjonction explicite des quadratures, et par l’adjonction implicite des autres opérations familières à l’analyse de son époque, sommation de séries de puissances, résolution d’équations différentielles. De même, Johann Bernoulli, lorsqu’il veut considérer une fonction arbitraire de $x$ , l’introduit comme « une quantité formée d’une manière quelconque à partir de $x$ et de constantes » ((XXI), t. II, p. 150), en précisant parfois qu’il s’agit d’une quantité formée « d’une manière algébrique ou transcendante » ((XXI), t. II, p. 324); et, en 1698, il se met d’accord avec Leibniz pour donner à une telle quantité le nom de « fonction de $x$ » ((XXI), t. III, p. 507–510 et p. 525–526)². Déjà Leibniz avait introduit les mots de « constante », « variable », « paramètre », et précisé à propos d’enveloppes la notion de famille de courbes dépendant d’un ou plusieurs paramètres (XXI e). Les questions de notation se précisent aussi dans la correspondance avec Johann Bernoulli: celui-ci écrit

¹ Il s’agit des quatre opérations rationnelles, et de l’extraction de racines d’ordre quelconque: J. Gregory n’a jamais cessé de croire à la possibilité de résoudre par radicaux les équations de tous les degrés.

² Jusque-là, et déjà dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employé ce mot comme abréviation pour désigner une grandeur « remplissant telle ou telle fonction » auprès d’une courbe, par exemple la longueur de la tangente ou de la normale (limitées à la courbe et à $Ox$ ), ou bien la sous-normale, la sous-tangente, etc., donc en somme une fonction d’un point variable sur une courbe, à définition géométrico-différentielle. Dans le même manuscrit de 1673, la courbe est supposée définie par une relation entre $x$ et $y$ , « donnée par une équation », mais Leibniz ajoute qu’« il n’importe pas que la courbe soit ou non géométrique » (c’est-à-dire, en notre langage, algébrique) (cf. D. Mahnke, Abh. Preuss. Akad. der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926).

volontiers X, ou $\xi$ , pour une fonction arbitraire de x ((XXI), t. III, p. 531); Leibniz approuve, mais propose aussi $\bar{x}^{[1]}$ , $\bar{x}^{[2]}$ là où nous écririons $f_1(x), f_2(x)$ ; et il propose, pour la dérivée $dz/dx$ d'une fonction z de x, la notation $dx$ (par opposition à $dz$ qui est la différentielle) alors que Bernoulli écrit $\Delta z$ ((XXI), t. III, p. 537 et 526).

\* \* \* \*

Ainsi, avec le siècle, l'époque héroïque a pris fin. Le nouveau calcul, avec ses notions et ses notations, est constitué, sous la forme que Leibniz lui a donnée. Les premiers disciples, Jakob et Johann Bernoulli, rivalisent de découvertes avec le maître, explorant à l'envi les riches contrées dont il leur a montré le chemin. Le premier traité de calcul différentiel et intégral a été écrit en 1691 et 1692 par Johann Bernoulli¹, à l'usage d'un marquis qui se montre bon élève. Peu importe d'ailleurs que Newton se soit décidé enfin, en 1693, à publier parcimonieusement un bref aperçu de ses fluxions ((XV), t. II, p. 391–396); si ses Principia ont de quoi fournir aux méditations de plus d'un siècle, sur le terrain du calcul infinitésimal il est rejoint, et sur bien des points dépassé.

Les faiblesses du nouveau système sont d'ailleurs visibles, du moins à nos yeux. Newton et Leibniz, abolissant d'un coup une tradition deux fois millénaire, ont accordé à la différentiation le rôle primordial, et réduit l'intégration à n'en être que l'inverse; il faudra tout le xixe siècle, et une partie du xx°, pour rétablir un juste équilibre, en mettant l'intégration à la base de la théorie générale des fonctions de variable réelle, et de ses généralisations modernes (voir les Notes historiques du Livre sur l'Intégration). C'est de ce renversement de point de vue aussi que découle le rôle excessif, et presque exclusif, que prend déjà chez Barrow, et surtout à partir de Newton et Leibniz, l'intégrale indéfinie aux dépens de l'intégrale définie: là aussi le xixe siècle eut à remettre les choses au point. Enfin la tendance proprement leibnizienne au maniement formel des symboles devait aller en s'accentuant à travers tout le xviii° siècle, bien au delà de ce que pouvaient autoriser les ressources de l'analyse de ce temps. En particulier, il faut bien reconnaître que la notion leibnizienne de différentielle n'a à vrai dire aucun sens; au début du xixe siècle, elle tomba dans un discrédit dont elle ne s'est relevée que peu à peu; et, si l'emploi des différentielles premières a fini par être complètement légitimé, les différentielles d'ordre supérieur, d'un usage pourtant si commode, n'ont pas encore été vraiment réhabilitées jusqu'à ce jour.

Quoi qu'il en soit, l'histoire du calcul différentiel et intégral, à partir de la fin du xvii° siècle, se divise en deux parties. L'une se rapporte aux applications de ce calcul, toujours plus riches, nombreuses et variées. A la géométrie différentielle

¹ La partie de ce traité qui se rapporte au calcul intégral fut publiée en 1742 seulement ((XXIV), t. III, p. 385–558); celle qui a trait au calcul différentiel n'a été retrouvée et publiée que récemment (XXIV bis); il est vrai que le marquis de l'Hôpital l'avait publiée en français, légèrement remaniée, sous son propre nom, ce dont Bernoulli marque quelque amertume dans ses lettres à Leibniz.

des courbes planes, aux équations différentielles, aux séries de puissances, au calcul des variations, dont il a déjà été question plus haut, viennent s’ajouter la géométrie différentielle des courbes gauches, puis des surfaces, les intégrales multiples, les équations aux dérivées partielles, les séries trigonométriques, l’étude de nombreuses fonctions spéciales, et bien d’autres types de problèmes, dont l’histoire sera exposée dans les Livres qui leur seront consacrés. Nous n’avons à nous occuper ici que des travaux qui ont contribué à mettre au point, approfondir et consolider les principes mêmes du calcul infinitésimal, en ce qui concerne les fonctions d’une variable réelle.

De ce point de vue, les grands traités du milieu du xviii\textsuperscript{e} siècle n’offrent que peu de nouveautés. Maclaurin en Angleterre\footnote{1}, Euler sur le continent (XXV a et b), restent fidèles aux traditions dont chacun d’eux est l’héritier. Il est vrai que le premier s’efforce de clarifier quelque peu les conceptions newtoniennes\footnote{2} tandis que le second, poussant le formalisme leibnizien à l’extrême, se contente, comme Leibniz et Taylor, de faire reposer le calcul différentiel sur un passage à la limite fort obscur à partir du calcul des différences, calcul dont il donne du reste un exposé fort soigné. Mais surtout Euler achève l’œuvre de Leibniz en introduisant et faisant adopter les notations encore aujourd’hui en usage pour $e, i$ , et les fonctions trigonométriques, et répandant la notation $\pi$ . D’autre part, et si le plus souvent il ne fait pas de distinction entre fonctions et expressions analytiques, il insiste, à propos de séries trigonométriques et du problème des cordes vibrantes, sur la nécessité de ne pas se borner aux fonctions ainsi définies (et qu’il qualifie de « continues »), mais de considérer aussi, le cas échéant, des fonctions arbitraires, ou « discontinues », données expérimentalement par un ou plusieurs arcs de courbe ((XXV c), p. 74–91). Enfin, bien que cela sorte quelque peu de notre cadre, il n’est pas possible de ne pas mentionner ici son extension de la fonction exponentielle au domaine complexe, d’où il tire les célèbres formules liant l’exponentielle aux fonctions trigonométriques, ainsi que la définition du logarithme d’un nombre complexe; par là se trouve élucidée définitivement la fameuse analogie entre logarithme et fonctions circulaires réciproques, ou, dans le langage du xvii\textsuperscript{e} siècle, entre les quadratures du cercle et de l’hyperbole, observée déjà par Grégoire de St. Vincent, précisée par Huygens et surtout par J. Gregory, et qui, chez Leibniz et Bernoulli, était apparue dans l’intégration formelle de

\frac{1}{1 + x^2} = \frac{i}{2(x + i)} - \frac{i}{2(x - i)}

D’Alembert cependant, ennemi de toute mystique en mathématique comme ailleurs, avait, dans de remarquables articles (XXVI), défini avec la plus grande clarté les notions de limite et de dérivée, et soutenu avec force qu’au fond c’est

1 C. Maclaurin, A complete treatise of fluxions, Edinburgh, 1742. 2 Elles avaient fort besoin, en effet, d’être défendues contre les attaques philosophico-théologico-humoristiques du fameux évêque Berkeley. D’après celui-ci, qui croit aux fluxions ne doit pas trouver fort difficile de prêter foi aux mystères de la religion : argument ad hominem, qui ne manquait ni de logique ni de piquant.

là toute la « métaphysique » du calcul infinitésimal. Mais ces sages avis n’ont pas eu de suite immédiate. Le monumental ouvrage de Lagrange (XXVII) représente une tentative de fonder l’analyse sur l’une des plus discutables conceptions newtoniennes, celle qui confond les notions de fonction arbitraire et de fonction développable en série de puissances, et de tirer de là (par la considération du coefficient du terme du premier ordre dans la série) la notion de différentiation. Bien entendu, un mathématicien de la valeur de Lagrange ne pouvait manquer d’obtenir à cette occasion des résultats importants et utiles, comme par exemple (et d’une manière en réalité indépendante du point de départ que nous venons d’indiquer) la démonstration générale de la formule de Taylor avec l’expression du reste par une intégrale, et son évaluation par le théorème de la moyenne; du reste l’œuvre de Lagrange est à l’origine de la méthode de Weierstrass en théorie des fonctions d’une variable complexe, ainsi que de la théorie algébrique moderne des séries formelles. Mais, du point de vue de son objet immédiat, elle représente un recul plutôt qu’un progrès.

Avec les ouvrages d’enseignement de Cauchy, au contraire (XXVIII), on se retrouve enfin sur un terrain solide. Il définit une fonction essentiellement comme nous le faisons aujourd’hui, bien que dans un langage encore un peu vague. La notion de limite, fixée une fois pour toutes, est prise pour point de départ; celles de fonction continue (au sens moderne) et de dérivée s’en déduisent immédiatement, ainsi que leurs principales propriétés élémentaires; et l’existence de la dérivée, au lieu d’être un article de foi, devient une question à étudier par les moyens ordinaires de l’analyse. Cauchy, à vrai dire, ne s’y intéresse guère; et d’autre part, si Bolzano, parvenu de son côté aux mêmes principes, construisit un exemple de fonction continue n’ayant de dérivée finie en aucun point (XXIX), cet exemple ne fut pas publié, et la question ne fut publiquement tranchée que par Weierstrass, dans un travail de 1872 (et, dans ses cours dès 1861) (XXXII).

En ce qui concerne l’intégration, l’œuvre de Cauchy représente un retour aux saines traditions de l’antiquité et de la première partie du xvii\textsuperscript{e} siècle, mais appuyé sur des moyens techniques encore insuffisants. L’intégrale définie, passée trop longtemps au second plan, redevient la notion primordiale, pour laquelle Cauchy fait adopter définitivement la notation $\int_a^b f(x)\, dx$ proposée par Fourier (au lieu de l’incommode $\int f(x)\, dx \left[ \begin{array}{c} x = b \\ x = a \end{array} \right]$ parfois employé par Euler); et, pour la définir, Cauchy revient à la méthode d’exhaustion, ou comme nous dirions, aux « sommes de Riemann » (qu’il vaudrait mieux nommer sommes d’Archimède, ou sommes d’Eudoxe). Il est vrai que le xvii\textsuperscript{e} siècle n’avait pas jugé à propos de soumettre à un examen critique la notion d’aire, qui lui avait paru au moins aussi claire que celle de nombre réel incommensurable; mais la convergence des sommes « de Riemann » vers l’aire sous la courbe, tant qu’il s’agit d’une courbe monotone ou monotone par morceaux, était une notion familière à tous les auteurs soucieux de rigueur au xvii\textsuperscript{e} siècle, Fermat, Pascal, Barrow; et J. Gregory, particulièrement bien préparé par ses réflexions sur le passage à la limite et sa familiarité avec une forme déjà fort abstraite du principe des « intervalles emboîtés », en avait même rédigé, paraît-il, une démonstration soignée, restée inédite ((XVII bis), p. 445–446), qui eût pu servir à Cauchy presque sans changement s’il l’avait connue¹. Malheureusement pour lui, Cauchy prétendit démontrer l’existence de l’intégrale, c’est-à-dire la convergence des « sommes de Riemann », pour une fonction continue quelconque; et sa démonstration, qui deviendrait correcte si elle s’appuyait sur le théorème de continuité uniforme des fonctions continues dans un intervalle fermé, est dénuée de toute valeur probante faute de cette notion. Dirichlet ne semble pas s’être aperçu non plus de la difficulté au moment où il rédigeait ses célèbres mémoires sur les séries trigonométriques, puisqu’il y cite le théorème en question comme « facile à démontrer » ((XXX), p. 136); il est vrai qu’il ne l’applique en définitive qu’aux fonctions bornées, monotones par morceaux; Riemann, plus circonspect, ne mentionne que ces dernières lorsqu’il s’agit de faire usage de sa condition nécessaire et suffisante pour la convergence des « sommes de Riemann » ((XXXI), p. 227–271). Une fois le théorème sur la continuité uniforme établi par Heine (cf. TG, II, Note historique p. 42), la question n’offrit bien entendu plus aucune difficulté; et elle est aisément tranchée par Darboux en 1875 dans son mémoire sur l’intégration des fonctions discontinues (XXXIII), mémoire où il se rencontre du reste sur bien des points avec les importantes recherches de P. du Bois-Reymond, parues vers la même époque. Du même coup se trouve démontrée pour la première fois, mais cette fois définitivement, la linéarité de l’intégrale des fonctions continues. D’autre part, la notion de convergence uniforme d’une suite ou d’une série, introduite entre autres par Seidel en 1848, et mise en valeur en particulier par Weierstrass (cf TG, X, Note historique p. 62), avait permis de donner une base solide, sous des conditions un peu trop restrictives il est vrai, à l’intégration des séries terme à terme et à la différentiation sous le signe $\int$ , en attendant les théories modernes dont nous n’avons pas à parler ici, et qui devaient éclaircir ces questions d’une manière provisoirement définitive.

Nous avons ainsi atteint à l’étape finale du calcul infinitésimal classique, celle qui est représentée par les grands Traités d’Analyse de la fin du xixe siècle; du point de vue qui nous occupe, celui de Jordan (XXXIV) occupe parmi eux une place éminente, pour des raisons esthétiques d’une part, mais aussi parce que, s’il constitue une admirable mise au point des résultats de l’analyse classique, il annonce à bien des égards l’analyse moderne et lui prépare la voie. Après Jordan vient Lebesgue, et l’on entre dans le sujet d’un autre Livre du présent ouvrage.

¹ C’est du moins ce qu’indique le résumé donné par Turnbull d’après le manuscrit.

BIBLIOGRAPHIE (Chapitres I, II et III)

(I) Euclidis Elementa, 5 vol., éd. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883–88. (I bis) T. L. Heath, The thirteen books of Euclid’s Elements..., 3 vol., Cambridge, 1908. (II) Archimedis Opera Omnia, 3 vol., éd. J. L. Heiberg, 2e éd., Leipzig (Teubner), 1913–15. (II bis) Les Œuvres complètes d’Archimède, trad. P. Ver Eecke, Paris-Bruxelles (Desclée-de Brouwer), 1921. (III) Galileo Galilei, Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, 20 vol., Firenze (Barbera), 1929–39. (III bis) Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno à due nuove scienze Attententi alla mecanica & i movimenti locali, del Signor Galileo Galilei Linceo, Filosofo e Matematico primario del Serenissimo Grand Duca di Toscana. In Leida, appresso gli Elsevirii, MDCCXXXVIII. (IV) J. Neper, Mirifici logarithmorum canonis constructio, Lyon, 1620. (V) J. Kepler, Stereometria Doliorum, 1615. (V bis) J. Kepler, Neue Steresometrie der Fäser, Ostwald’s Klassiker, n° 165, Leipzig (Engelmann), 1908 (VI) B. Cavalieri: a) Geometria indivisibilibus continuorum quadam ratione promota, Bononiae, 1635 (2e éd., 1653); b) Exercitationes geometricae sex, Bononiae, 1647. (VII) E. Torricelli, Opere, 4 vol., éd. G. Loria et G. Vassura, Faenza (Montanari), 1919. (VII bis) E. Torricelli, in G. Loria, Bibl. Mat. (III), t. I, 1900, p. 78–79. (VIII) G. de Roberval, Ouvrages de Mathématique (Mémoires de l’Académie Royale des Sciences, t. III), Amsterdam, 1736: a) Observations sur la composition des mouvements, et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, p. 3–67; b) Epistola ad Torricellium, p. 363–399. (IX) P. Gregorii a Sancto Vincentio, Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni..., 2 vol. Antverpiae, 1647. (X) R. Descartes, Œuvres, éd. Ch. Adam et P. Tannery, 11 vol., Paris (L. Gerf), 1897–1909. (X bis) R. Descartes, Geometria, trad. latine de Fr. van Schooten, 2e éd., 2 vol., Amsterdam (Elzevir), 1659–61. (XI) P. Fermat, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1891–1912: a) De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione... Auctore M. P. E. A. S., t. I, p. 211–254 (trad. française, ibid., t. III, p. 181–215); b) Methodus ad disquirendam maximam et minimam, t. I, p. 133–179 (trad. française, ibid., t. III, p. 121–156); c) De aequationum localium transmutatione et emendatione ad multimodam curvilinearorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usus, t. I, p. 255–288 (trad. française, ibid., t. III, p. 216–240). (XII) B. Pascal, Œuvres, 14 vol., éd. Brunschvicg, Paris (Hachette), 1904–14: a) Lettre de A. Dettonville à Monsieur A. D. D. S. en lui envoyant la démonstration à la manière des anciens de l’égalité des lignes spirale et parabolique, t. VIII, p. 249–282; b) Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur de Carcavy, t. VIII, p. 334–384; c) Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets, t. IX, p. 3–45; d) Traité des sinus du quart de cercle, t. IX, p. 60–76. (XIII) N. Mercator, Logarithmotechnia... cui nunc accedit vera quadratura hyperbolae..., Londini, 1668 (reproduit dans F. Masères, Scriptores Logarithmici..., vol. I, London, 1791, p. 167–196).

(XIV) LORD Brouncker, The Squaring of the Hyperbola by an infinite series of Rational Numbers, together with its Demonstration by the Right Honourable the Lord Viscount Brouncker, Phil. Trans., t. 3 (1668), p. 645–649 (reproduit dans F. MASÈRES, Scriptores Logarithmici..., vol. I, London, 1791, p. 213–218).

(XV) J. Wallis, Opera Mathematica, 3 vol., Oxoniae, 1693–95: a) Arithmetica Infinitorum, t. I, p. 355–478.

(XV bis) J. Wallis, LOGARITHMOTECNIA NICOLAI MERCATORIS: discoursed in a letter written by Dr. J. Wallis to the Lord Viscount Brouncker, Phil. Trans., t. 3 (1668), p. 753–759 (reproduit dans F. MASÈRES, Scriptores Logarithmici..., vol. I, London, 1791, p. 219–226).

(XVI) Ch. Huygens, Œuvres complètes, publiées par la Société Hollandaise des Sciences, 19 vol., La Haye (Martinus Nijhoff), 1888–1937: a) Examen de « Vera Circuli et Hyperboles Quadratura... », t. VI, p. 228–230 (= Journal des Savans, juillet 1668); b) Horologium Oscillatorium, t. XVIII; c) Theoremata de Quadratura Hyperboles, Ellipsis et Circuli..., t. XI, p. 271–337; d) De Circuli Magnitudine Inventa,... t. XII, p. 91–180.

(XVI bis) Christiani Hugenii, Zulichemii Philosophi, vere magni, Dum viveret Zelemii Toparchae, Opera Mechanica, Geometrica, Astronomica et Miscellanea, 4 tomes en 1 vol., Lugd. Batav., 1751.

(XVII) J. Gregory: a) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura..., Pataviae, 1667; b) Geometriae Pars Universalis, Pataviae, 1668; c) Exercitationes Geometricae, London, 1668.

(XVII bis) James Gregory Tercentenary Memorial Volume, containing his correspondence with John Collins and his hitherto unpublished mathematical manuscripts..., ed. H. W. Turnbull, London (Bell and Sons), 1939.

(XVIII) I. Barrow, Mathematical Works, ed. W. Whevell, Cambridge, 1860.

(XVIII bis) LECTIONES GEOMETRICAE: In quibus (praesertim) GENERALIA CURVARUM LINEARUM SYMPTOMATA DECLARANTUR. Auctore Isaac Barrow... Londini... M.DC. LXX (= Mathematical Works, p. 156–320).

(XIX) I. Newton, Opuscula, t. I, Lausanne-Genève (M. M. Bousquet), 1744: a) De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, p. 3–26; b) Methodus fluxionum et serierum infinitarum, p. 29–199 (1re publication en 1736); c) De Quadratura curvarum, p. 201–244 (1re publication en 1706); d) Methodus differentialis, p. 271–282 (1re publication en 1711); e) Commercium Epistolicum, p. 295–420 (1re publication en 1712, 2e éd. en 1722).

(XX) I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London, 1687 (nouvelle éd., Glasgow, 1871).

(XX bis) I. Newton, Mathematical principles of natural philosophy, and his System of the world, transl. into English by A. Motte in 1729, Univ. of California, 1946.

(XXI) G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, éd. C. I. Gerhardt, 7 vol., Berlin-Halle (Asher-Schmidt), 1849–63: a) Nova Methodus pro Maximis et Minimis..., t. V, p. 220–226 (= Acta Erud. Lips., 1684); b) De Geometria recondita..., t. V, p. 226–233 (= Acta Erud. Lips., 1686); c) Meditatio nova de natura Anguli contactus..., t. VII, 326–328 (= Acta Erud. Lips., 1686); d) Generalia de Natura linearum..., t. VII, p. 331–337 (= Acta Erud. Lips., 1692); e) De linea ex lineis numero infinitis..., t. V, p. 266–269 (= Acta Erud. Lips., 1692); f) Nova Calculi differentialis applicatio..., t. V, p. 301–306 (= Acta Erud. Lips., 1694); g) Specimen novum Analyseos..., t. V, p. 350–361 (= Acta Erud. Lips., 1702); h) Continuatio Analyseos Quadraturarum Rationalium, t. V, p. 361–366 (= Acta Erud. Lips., 1703).

(XXII) Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern, herausg. von C. I. Gerhardt, t. I, Berlin (Mayer and Müller), 1899.

(XXIII) Jakob Bernoulli, Opera, 2 vol., Genève (Cramer-Philibert), 1744.

(XXIV) Johann Bernoulli, Opera Omnia, 4 vol., Lausanne-Genève (M. M. Bousquet), 1742.

(XXIV bis) JOHANN BERNOULLI: Die erste Integralrechnung, Ostwald’s Klassiker, n° 194, Leipzig–Berlin, 1914; Die Differentialrechnung, Ostwald’s Klassiker, n° 211, Leipzig, 1924.

(XXV) L. EULER, Opera Omnia: a) Institutiones calculi differentialis, (1), t. X, Berlin (Teubner), 1913; b) Institutiones calculi integralis, (1), t. XI–XIII, Berlin (Teubner), t. 1, 1913–14; c) Commentationes analyticae... (1), t. XXIII, Berlin-Zürich (Teubner-O. Füssli), 1938.

(XXVI) J. d’ALEMBERT: a) Sur les principes métaphysiques du Calcul infinitésimal (Mélanges de littérature, d’histoire et de philosophie, nouv. éd., t. V, Amsterdam, 1768, p. 207–219); b) Encyclopédie, Paris, 1751–65, articles « Differentiell » et « Limite ».

(XXVII) J.-L. LAGRANGE, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867–1892: a) Théorie des fonctions analytiques, 2e éd., t. IX; b) Leçons sur le calcul des fonctions, 2e éd., t. X.

(XXVIII) A.-L. CAUCHY, Résumé des leçons données à l’École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, 1823 (= Œuvres complètes, (2), t. IV, Paris (Gauthier-Villars), 1899).

(XXIX) B. BOLZANO, Schriften, Bd. I: Funktionenlehre, Prag, 1930.

(XXX) P. G. LEJEUNE-DIRICHLET, Werke, t. I, Berlin (G. Reimer), 1889.

(XXXI) R. RIEMANN, Gesammelte Mathematische Werke, 2e éd., Leipzig (Teubner), 1892.

(XXXII) K. WEIERSTRASS, Mathematische Werke, t. II, Berlin (Mayer und Müller), 1895.

(XXXIII) G. DARBOUX, Mémoire sur les fonctions discontinues, Ann. E. N. S., (2) t. IV (1875), p. 57–112.

(XXXIV) C. JORDAN, Traité d’Analyse, 3e éd., 3 vol., Paris (Gauthier-Villars), 1909–15.

[^1]: H. Wieleitner, Der \* Tractatus de latitudinibus formarum \* des Oresme, Bibl. Mat. (III), t. 13 (1912), p. 115–145, en particulier p. 141.