Ghi chú lịch sử

(Các chương I, II và III)

(Lưu ý. Các chữ số La Mã chỉ thư mục tham khảo ở cuối ghi chú này.)

Vào năm 1604, ở đỉnh cao sự nghiệp khoa học của mình, Galileo tin rằng ông đã chứng minh được rằng trong chuyển động thẳng, nơi vận tốc tăng tỉ lệ với quãng đường đã đi, luật chuyển động sẽ chính là luật ( $x = ct^2$ ) mà ông đã phát hiện trong sự rơi của các vật nặng (III, v. X, p. 115-116). Trong khoảng từ 1695 đến 1700, không có một tập nào của Acta Eruditorum xuất bản hằng tháng ở Leipzig mà không có các hồi ký của Leibniz, hai anh em Bernoulli, marquis de l’Hôpital, bàn về, chủ yếu trong ký hiệu mà ta vẫn còn dùng ngày nay, những bài toán đủ loại trong phép tính vi phân, phép tính tích phân và phép tính biến phân. Chính trong khoảng gần đúng một thế kỷ ấy mà phép tính vô cùng bé, hay như người Anh cuối cùng gọi nó, phép tính ưu việt ("phép tính"), đã được rèn nên; và gần ba thế kỷ sử dụng liên tục vẫn chưa làm cùn hoàn toàn công cụ vô song này.

Người Hy Lạp không hề có cũng như không hề hình dung ra điều gì tương tự. Chắc chắn rằng, nếu họ biết, họ đã không chịu dùng nó, một phép tính đại số, tức của người Babylon, mà một phần Hình học của họ có lẽ chỉ là một bản chép lại; bởi chính trong lĩnh vực sáng tạo hình học mà năng lực sáng tạo toán học rực rỡ nhất của họ xuất hiện, đó là phương pháp xử lý các bài toán mà đối với chúng ta là việc của phép tính tích phân. Eudoxus, khi xét thể tích của hình nón và của hình chóp, đã cho những mẫu mực đầu tiên của phương pháp này, mà Euclid đã truyền lại cho chúng ta ít nhiều trung thực ((I), Book XII, prop. 7 and 10). Nhưng trên hết, chính cho các bài toán ấy mà hầu như toàn bộ công trình của Archimedes đã được dành cho ((II) and (II bis)); và, một cách tình cờ lạ lùng, ta vẫn còn có thể đọc, trong văn bản gốc của chúng, bằng thổ ngữ Doric vang dội mà ông đã cẩn thận soạn nên, phần lớn các tác phẩm của ông, và, cho đến bản vừa được tái phát hiện, nơi ông trình bày các thủ tục "heuristic" đã dẫn ông đến một trong những kết quả đẹp nhất của mình ((II), v. II, p. 425-507). Vì đây là một trong những điểm yếu của phương pháp "vét cạn" của Eudoxus: tuy là một phương pháp chứng minh không thể chê trách (sau khi đã chấp nhận một số tiên đề nhất định), nó không phải là một phương pháp phát hiện; việc áp dụng nó tất yếu dựa trên việc đã biết trước kết quả cần chứng minh; cũng vậy, như Archimedes đã nói, "trong số các kết quả mà Eudoxus lần đầu tiên tìm được chứng minh, liên quan đến hình nón và hình chóp ..., không phải là một phần nhỏ quay về với Democritus, người đầu tiên phát biểu chúng mà không có chứng minh" (loc. cit., p. 430). Hoàn cảnh này làm cho việc phân tích chi tiết công trình của Archimedes đặc biệt khó khăn, một phân tích mà, nói cho đúng, dường như chưa từng được bất kỳ nhà sử học hiện đại nào thực hiện; vì thật ra ta không biết ông ý thức đến mức nào về những liên hệ trong họ nối kết các bài toán khác nhau mà ông đã xử lý (những liên hệ mà ta sẽ diễn đạt bằng cách nói rằng cùng một tích phân xuất hiện lại ở nhiều nơi dưới những khía cạnh hình học khác nhau) và ông có thể đã gán cho chúng tầm quan trọng ra sao. Chẳng hạn, hãy xét các bài toán sau đây, bài đầu do Eudoxus giải, các bài còn lại do Archimedes: thể tích của hình chóp, diện tích một đoạn parabol, tâm trọng lực của một tam giác, diện tích của xoắn ốc Archimedes ( $\rho = c \omega$ in polar coordinates); tất cả đều phụ thuộc vào tích phân $\int x^2 dx$ , và, không hề rời xa tinh thần của phương pháp vét cạn, người ta có thể quy tất cả chúng về việc tính các “tổng Riemann” có dạng $\sum_n a n^2$ . Quả thật, Archimedes đã xử lý xoắn ốc như thế nào ((II), v. II, p. 1-121), bằng một bổ đề tương đương với việc viết

N^3 < 3 \sum_{n=1}^N n^2 = N^3 + N^2 + \sum_{n=1}^N n < (N+1)^3.

Còn về tâm trọng lực của tam giác, ông đã chứng minh (bằng phương pháp vét cạn, dùng một phân tích thành các dải song song) rằng nó nằm trên mỗi trung tuyến, tức tại điểm đồng quy của chúng ((II), v. II, p. 261-315). Đối với parabol, ông đưa ra ba cách: cách thứ nhất, có tính heuristic, chỉ nhằm “làm cho kết quả có vẻ có lý hơn”, quy bài toán về tâm trọng lực của tam giác, bằng một lập luận tĩnh học trong đó ông không ngần ngại coi đoạn parabol như tổng của vô hạn nhiều đoạn thẳng song song với trục ((II), v. II, p. 435-439); một phương pháp khác dựa trên một nguyên lý tương tự, nhưng được trình bày hoàn toàn chặt chẽ bằng phương pháp vét cạn ((II), v. II, p. 261-315); một chứng minh cuối cùng, hết sức khéo léo nhưng phạm vi hẹp hơn, cho diện tích cần tìm dưới dạng tổng của một cấp số nhân, khai thác những tính chất riêng của parabol. Không có gì chỉ ra một quan hệ giữa các bài toán này và thể tích của hình chóp; thậm chí còn nói rằng ((II), v. II, p. 8) các bài toán liên quan đến xoắn ốc có “nothing in common” với một số bài toán khác về mặt cầu và paraboloid tròn xoay, mà Archimedes đã có dịp nói đến trong cùng lời dẫn nhập ấy, và trong số đó có một bài toán (thể tích của paraboloid) quy về tích phân $\int x dx$ .

Như thấy từ những ví dụ này, nguyên lý vét kiệt, ngoài những mẹo đặc biệt, có dạng sau: bằng một phân tích thành các “tổng Riemann” người ta thu được các cận trên và cận dưới cho đại lượng đang xét, những cận mà người ta so sánh trực tiếp với biểu thức đã nêu cho đại lượng ấy, hoặc với các cận tương ứng cho một bài toán tương tự đã được giải trước đó. Phép so sánh này (mà, trong trường hợp không có số âm, tất yếu phải làm thành hai phần) được mở đầu bằng công thức nghi thức: “nếu không, thì nó sẽ hoặc lớn hơn hoặc nhỏ hơn; giả sử, nếu có thể, rằng nó lớn hơn, v.v.; giả sử, nếu có thể, rằng nó nhỏ hơn, v.v.”, do đó có tên là “phản chứng” hay “bằng quy về điều vô lý” (“ἀπαγωγὴ εἰσ ἀδύνατον”) mà các học giả thế kỷ XVII $^{th}$ đã đặt cho phương pháp này. Chính dưới một hình thức tương tự mà Archimedes trình bày việc xác định tiếp tuyến của đường xoắn ốc ((II), v. II, p. 62-76), một kết quả riêng lẻ, và là kết quả duy nhất mà chúng ta phải viện dẫn như một nguồn cổ của “phép tính vi phân”, ngoài việc xác định tiếp tuyến của các conic vốn tương đối dễ, và một vài bài toán về cực đại và cực tiểu. Thật vậy, xét về "integration", một lĩnh vực nghiên cứu rộng lớn đã được mở ra cho các nhà toán học Hy Lạp, không chỉ bởi lý thuyết về thể tích, mà còn bởi tĩnh học và thủy tĩnh học, họ hầu như không có, vì thiếu động học, dịp để nghiêm túc đi vào vi phân. Đúng là Archimedes đưa ra một định nghĩa động học về đường xoắn ốc của ông; và, không biết bằng cách nào ông có thể được dẫn tới hiểu biết về tiếp tuyến của nó, ta có quyền hỏi liệu ông có bất kỳ khái niệm nào về sự hợp thành của các chuyển động hay không. Nhưng trong trường hợp này, liệu ông có không áp dụng một phương pháp mạnh mẽ như thế cho những bài toán khác cùng loại? Có vẻ hợp lý hơn là ông đã phải sử dụng một thủ tục tìm tòi nào đó của việc chuyển qua giới hạn mà các kết quả ông biết về các conic có thể đã gợi ý; những kết quả này, dĩ nhiên, về bản chất là đơn giản hơn, vì ta có thể dựng các điểm giao của một đường thẳng và một conic, và do đó xác định điều kiện để các điểm ấy trùng nhau. Còn về định nghĩa của tiếp tuyến, tiếp tuyến này được hình dung như một đường thẳng mà, trong một lân cận của một điểm nào đó của đường cong, có toàn bộ đường cong ở về một phía; sự tồn tại của nó được giả thiết, và cũng giả thiết rằng mọi đường cong đều được cấu tạo bởi các cung lồi; dưới những điều kiện ấy, để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường cong thì cần chứng minh một số bất đẳng thức, và dĩ nhiên điều đó được làm với độ chính xác đầy đủ nhất.

Xét về mặt chặt chẽ, các phương pháp của Archimedes không có gì đáng chê trách; và, ngay cả trong thế kỷ XVII $^{th}$ , khi những nhà toán học thận trọng nhất muốn đặt một kết quả bị xem là đặc biệt tế nhị hoàn toàn ra ngoài mọi nghi ngờ, thì chính là một chứng minh “phản chứng” mà họ đưa ra cho nó ((XI $a$ ) và (XII $a$ )). Về tính phong phú kết quả của chúng, công trình của Archimedes là chứng cứ đủ. Nhưng để có quyền thấy ở đó một “phép tính tích phân”, người ta phải chỉ ra, qua sự đa dạng của các hiện tượng hình học, một phác thảo nào đó của một sự phân loại các bài toán theo bản chất của “tích phân” nền tảng. Trong thế kỷ XVII $^{th}$ , ta sẽ thấy, việc tìm kiếm một sự phân loại như thế dần dần trở thành một trong những mối quan tâm chủ yếu của các nhà hình học; nếu trong Archimedes không thấy dấu vết nào, thì chẳng phải đó là dấu hiệu rằng những suy đoán như thế hẳn đã có vẻ quá đỗi “trừu tượng” đối với ông, và rằng, trái lại, ông đã chủ ý, trong mỗi trường hợp, giữ càng gần càng tốt với những tính chất riêng của hình mà ông đang nghiên cứu hay sao? Và chẳng phải chúng ta phải kết luận rằng công trình tuyệt diệu này, từ đó phép tính tích phân, theo những người sáng tạo ra nó, được rút ra hoàn toàn, ở một nghĩa nào đó là đối lập với phép tính tích phân hay sao?

Hơn nữa, trong toán học, không phải một cách vô can mà người ta có thể để một hố ngăn cách hiện ra giữa phát hiện và chứng minh. Trong những thời thuận lợi, nhà toán học, mà không từ bỏ tính chặt chẽ, chỉ cần ghi lại các ý tưởng của mình gần như đúng như lúc ông hình dung ra chúng; đôi khi ông thậm chí còn có thể hy vọng làm được điều ấy nhờ một sự điều chỉnh khéo léo ngôn ngữ và ký hiệu đã được chấp nhận. Nhưng thường ông phải bằng lòng với việc chọn giữa những lối trình bày không đúng, tuy có lẽ hữu ích, và những phương pháp đúng đắn nhưng không cho phép ông diễn đạt tư tưởng của mình ngoài cách làm biến dạng nó, và với cái giá của một nỗ lực mệt nhọc. Không con đường nào là không có nguy hiểm. Người Hy Lạp đã đi theo con đường thứ hai, và có lẽ chính ở đó, còn hơn cả tác động làm thui chột của cuộc chinh phục La Mã, ta phải tìm nguyên nhân của sự đình trệ đáng ngạc nhiên của toán học của họ gần như ngay sau khi nó nở rộ rực rỡ nhất. Đã có người gợi ý, không phải không có lý, rằng việc giảng dạy bằng miệng của những người kế tục Archimedes và Appolonius hẳn phải chứa đựng không ít kết quả mới mà họ không thấy cần thiết phải tự buộc mình vào nỗ lực phi thường cần có để công bố theo đúng các chuẩn mực đã được thừa nhận. Dù thế nào đi nữa, đó không phải là những ngần ngại đã ngăn các nhà toán học của thế kỷ XVII $^{th}$ , khi, trước vô số bài toán mới tự đặt ra, họ cần mẫn tìm trong các trước tác của Archimedes những phương tiện để vượt qua chúng.

Trong khi các tác phẩm kinh điển vĩ đại của văn học và triết học Hy Lạp đều đã được in ở Ý bởi Aldus Manutius và các môn đệ của ông, và gần như tất cả đều trước năm 1520, thì mãi đến năm 1544 ấn bản đầu tiên của Archimedes, bằng tiếng Hy Lạp và Latin, mới xuất hiện $^4$ , được Hervagius in tại Bâle, không có một bản tiếng Latin nào trước đó; và, xa mới là các nhà toán học thời ấy (vốn bị cuốn hút bởi những nghiên cứu đại số của họ) cảm nhận ngay ảnh hưởng đó, phải chờ đến Galileo và Kepler, cả hai đều là nhà thiên văn và nhà vật lý hơn là nhà toán học, thì ảnh hưởng này mới trở nên hiển hiện. Từ thời điểm này, không gián đoạn cho đến khoảng năm 1670, không có tên nào trong các trước tác của những người sáng lập Giải tích vô cùng bé xuất hiện thường xuyên như tên của Archimedes. Nhiều người đã dịch ông và soạn các chú giải về ông; tất cả, từ Fermat đến Barrow, đều viện dẫn ông một cách không phân biệt; tất cả đều cho rằng ở đó họ tìm thấy vừa một mô hình vừa một nguồn cảm hứng.

Đúng là những lời khẳng định ấy, như ta sẽ thấy, không phải tất cả đều được hiểu hoàn toàn theo nghĩa đen; ở đây ta gặp một trong những khó khăn cản trở việc giải thích đúng đắn những trước tác này. Nhà sử học cũng phải tính đến tổ chức của thế giới khoa học vào thời ấy, vẫn còn rất khiếm khuyết vào đầu thế kỉ XVII $^{th}$ , trong khi về cuối thế kỉ đó, nhờ việc thành lập các hội bác học và các tạp chí khoa học, nhờ sự củng cố và phát triển của các đại học, nó rốt cuộc trở nên rất giống với điều ta biết ngày nay. Không có bất kỳ tạp chí định kỳ nào cho đến năm 1665, các nhà toán học không có cách nào công bố công trình của mình ngoài việc viết thư, hoặc in một cuốn sách, thường là bằng chi phí của chính họ, hoặc của một vị Maecenas nào đó nếu họ có thể tìm được. Những người biên tập và nhà in có khả năng thực hiện loại công việc này rất hiếm, đôi khi lại không đáng tin cậy. Sau những chậm trễ kéo dài và vô số trục trặc mà một ấn phẩm như thế gây ra, tác giả thường phải đối mặt với những cuộc tranh cãi bất tận, do các đối thủ khơi mào, không phải lúc nào cũng ngay thẳng, và đôi khi được theo đuổi với giọng điệu cay nghiệt đáng ngạc nhiên: vì, trong sự bất định chung về chính các nguyên lý của Giải tích vô cùng bé, không khó để bất kỳ ai cũng tìm ra những điểm yếu, hoặc ít nhất là những điểm mờ ám và có thể tranh cãi, trong các lập luận của đối thủ. Ta hiểu rằng trong những hoàn cảnh ấy, nhiều học giả coi trọng sự yên tĩnh đã bằng lòng truyền đạt các phương pháp và kết quả của mình cho một vài người bạn được chọn. Một số người, và trên hết là một số người yêu thích khoa học, như Mersenne ở Paris và sau đó là Collins ở London, duy trì một thư từ rộng khắp tới mọi nước, từ đó họ truyền đi đây đó những đoạn trích, không quên chen vào những đoạn trích ấy các sai lầm do chính họ bịa ra. Là chủ của những “phương pháp” mà, vì thiếu khái niệm và định nghĩa tổng quát, họ không thể nào trình bày dưới dạng các định lý, thậm chí còn không thể phát biểu một cách chính xác, các nhà toán học bị buộc phải

$^4$ Archimedis Opera quae quidem exstant omnia, nunc primus et gr. et lat. edita . . . Basileae, Jo. Hervagius, 1544, l vol. in-fol.

kiểm nghiệm chúng trên rất nhiều trường hợp riêng lẻ, tin rằng họ không thể đo lường sức mạnh của chúng tốt hơn là bằng cách ném ra những lời thách thức với các đồng nghiệp của mình, đôi khi kèm theo việc công bố các kết quả của chính họ bằng ngôn ngữ mật mã. Những người trẻ chăm học đi đây đi đó, có lẽ nhiều hơn ngày nay; và các ý tưởng của một học giả đôi khi lan rộng nhiều hơn do những chuyến đi của các học trò ông hơn là do các công bố của chính ông, nhưng không phải là không có một nguyên nhân khác nữa của sự hiểu lầm. Cuối cùng, vì các bài toán giống nhau một cách tự nhiên nảy sinh đối với nhiều nhà toán học, trong số đó có những người rất lỗi lạc, nhưng chỉ có hiểu biết chưa đầy đủ về các kết quả của những người khác, nên không thể không liên tục nảy sinh các đòi hỏi về quyền ưu tiên, và việc thêm vào các cáo buộc đạo văn là điều không hiếm.

Vì thế, trong thư từ và giấy tờ riêng của các học giả thời này, hầu như cũng nhiều, hoặc còn nhiều hơn nữa, so với trong các công trình xuất bản chính thức của họ, mà nhà sử học phải tìm kiếm tư liệu của mình. Nhưng trong khi các giấy tờ của Huygens, chẳng hạn, đã được bảo tồn và trở thành đối tượng của một ấn bản mẫu mực (XVI), thì các giấy tờ của Leibniz cho đến nay vẫn chưa được công bố, trừ một cách thiếu sót và rời rạc, và nhiều giấy tờ khác thì đã mất hẳn không sao thu hồi được. Ít ra thì những nghiên cứu mới nhất, dựa trên sự phân tích các bản thảo, đã nêu bật, theo một cách dường như không thể bác bỏ, một điểm mà các cuộc tranh cãi phe phái hầu như đã che khuất: đó là, mỗi khi một trong những nhà toán học lớn của thời này tường thuật về công việc của chính mình, về sự phát triển tư tưởng của mình, về những gì đã ảnh hưởng đến mình và những gì không, thì ông ta đã làm điều đó một cách ngay thẳng và chân thành, với tất cả thiện chí $^5$ ; vì vậy, những lời chứng quý giá này, mà chúng ta có khá nhiều, có thể được sử dụng với sự tin cậy đầy đủ, và nhà sử học không cần phải biến mình thành một thẩm phán điều tra ở đây. Còn về phần còn lại, phần lớn các vấn đề về quyền ưu tiên hoàn toàn không có ý nghĩa. Đúng là Leibniz, khi ông chấp nhận ký hiệu $dx$ cho “vi phân”, đã không biết rằng Newton đã dùng $\dot{x}$ cho “fluxion” trong khoảng mười năm: nhưng nếu ông biết thì sao? Để lấy một ví dụ có tính giáo huấn hơn, ai là tác giả của định lý $\log x = \int dx/x$ , và ngày của nó là gì? Công thức, như chúng ta vừa viết, là của Leibniz, vì cả hai thuật ngữ đều được viết theo ký hiệu của ông. Chính Leibniz, và Wallis, gán nó cho Grégoire de Saint-Vincent. Ông này, trong Opus Geometricum (IX) (tác phẩm xuất hiện năm 1647, nhưng theo lời ông được soạn từ rất lâu trước đó), chỉ chứng minh điều tương đương với điều sau: nếu $f(a, b)$ biểu thị diện tích của đoạn hypebol $a \leq x \leq b,\ 0 \leq y \leq A/x$ , thì quan hệ $b'/a' = (b/a)^n$ suy ra $f(a', b') = n\ f(a, b)$ ; học trò và nhà chú giải của ông là Sarasa gần như ngay lập tức thêm nhận xét $^6$ rằng các diện tích $f(a, b)$ như thế có thể “thay chỗ cho các logarit”. Nếu ông không nói gì thêm về điều này, và nếu chính Grégoire cũng không nói gì, chẳng phải là vì, đối với đa số các nhà toán học thời đó, logarit là những “công cụ tính toán” vẫn chưa được tự nhiên hóa, chưa có quyền được viện dẫn trong toán học? Đúng là Torricelli, trong một bức thư năm 1644 (VII bis), đã nói về nghiên cứu của mình trên một đường cong mà ta sẽ viết là $y = a e^{-x^2},\ x \geq 0$ , rồi thêm rằng Napier (người mà ông lại còn hết lời ca ngợi) “chỉ theo đuổi những ứng dụng thực tiễn”

5 Điều này áp dụng chẳng hạn cho Torricelli (xem (XII), v. VIII, p. 181-194) và cho Leibniz (D Mahnke, Abh. Preuss. Akad. der Wiss., 1925 Nr. 1, Berlin, 1926). Điều đó dĩ nhiên không có nghĩa là một nhà toán học không thể bị ảo tưởng về tính nguyên gốc của các ý tưởng của mình; nhưng không phải những người vĩ đại nhất là những người dễ tự lừa dối mình nhất về mặt này. 6 Solutio problematis . . . Auctore P. Alfonso Antonio de Sarasa . . . Antverpiae, 1649.

"arithmetique", trong khi chính ông "rút ra từ đó một suy đoán về hình học"; và ông đã để lại một bản thảo, hiển nhiên đã được chuẩn bị để công bố, về đường cong này, mặc dù nó chỉ được xuất bản vào năm 1900 ((VII), v. I, p. 335-347). Hơn nữa, Descartes đã gặp cùng đường cong ấy vào khoảng năm 1639 trong liên hệ với "bài toán của Debeaune" và đã mô tả nó mà không hề nhắc đến các logarit ((X), v. II, p. 514-517). Dù sự việc đã diễn ra như thế nào đi nữa, J. Gregory, vào năm 1667, đã đưa ra, mà không viện dẫn ai cả ((XVII a), được in lại trong (XVI bis), p. 407-462), một quy tắc để tính diện tích các đoạn hypebol bằng (các) logarit thập phân: điều này lập tức hàm ý tri thức lý thuyết về mối liên hệ giữa phép cầu phương của hypebol và các logarit, cũng như tri thức số học về mối liên hệ giữa các logarit "tự nhiên" và "thập phân". Phải chăng chính chỉ ở điểm cuối cùng này mà lời tuyên bố của Huygens áp dụng, khi ông trực tiếp tranh cãi tính mới mẻ của kết quả của Gregory (XVI a)? Điều này đối với chúng ta không sáng tỏ hơn đối với những người đương thời; trong mọi trường hợp, họ có ấn tượng rõ ràng rằng sự tồn tại của một mối liên hệ giữa các logarit và phép cầu phương của hypebol là điều đã được biết từ lâu, mặc dù họ không thể viện đến gì khác ngoài những ám chỉ qua thư từ hoặc thậm chí là cuốn sách của Grégoire de Saint-Vincent. Năm 1668, khi Brouncker đưa ra các chuỗi cho log 2 và cho log(5/4) (kèm theo một chứng minh hội tụ tỉ mỉ, bằng cách so sánh với một chuỗi hình học)(XIV), ông trình bày chúng như những biểu thức cho các đoạn tương ứng của các hypebol, và thêm rằng các giá trị số mà ông thu được "ở cùng một tỉ lệ như các logarit" của 2 và của 5/4. Nhưng trong cùng năm đó, với Mercator (XIII) (hay chính xác hơn là với sự trình bày ngay sau đó của Wallis về công trình của Mercator (XV bis)), ngôn ngữ đã thay đổi: vì các đoạn của hypebol tỉ lệ với các logarit, và vì người ta biết rằng các logarit, theo những tính chất đặc trưng của chúng, chỉ được xác định tới một thừa số hằng, nên không có gì ngăn cản việc xem các đoạn của hypebol như là các logarit, được gọi là "tự nhiên" (đối lập với các logarit "nhân tạo" hay "thập phân") hoặc hypebol; khi bước cuối cùng này được thực hiện (chuỗi cho log(1 + x), do Mercator đưa ra, đã góp phần vào điều này), thì định lý $\log x = \int d.x/x$ đã thu được, nếu không xét đến ký hiệu, hay đúng hơn, nó thậm chí đã trở thành định nghĩa. Phải kết luận thế nào, nếu không phải rằng chính bằng những chuyển tiếp gần như không thể nhận thấy được mà phát hiện này đã được thực hiện, và rằng một tranh chấp về thứ tự ưu tiên trong vấn đề này rất giống một cuộc cãi vã giữa cây vĩ cầm và cây trombone về đúng thời điểm một mô-típ nhất định xuất hiện trong một bản giao hưởng? Và nói cho thật lòng, mặc dù đồng thời với nó, những sáng tạo toán học khác, số học của Fermat, động học của Newton, mang một dấu ấn rất cá nhân, thì chính sự triển khai dần dần và tất yếu của một bản giao hưởng, nơi "Zeitgeist", đồng thời là nhà soạn nhạc và nhạc trưởng, cầm lấy chiếc đũa chỉ huy, mới là điều khiến ta liên tưởng đến sự phát triển của phép tính vi phân và tích phân trong thế kỷ XVII $^{th}$ : mỗi người thực hiện phần của mình với âm sắc riêng của mình, nhưng không ai là chủ của các chủ đề mà mình làm vang lên, những chủ đề gần như bị đan xen không thể gỡ nổi bởi một phản điểm bác học. Vì thế, lịch sử phải được viết dưới dạng một sự phân tích chủ đề; ở đây chúng ta sẽ bằng lòng với một phác thảo tóm tắt, và sẽ không giả vờ đạt tới độ chính xác tỉ mỉ⁷. Dù sao đi nữa, đây là những chủ đề chính xuất hiện dưới một sự khảo sát bề ngoài:

A) Chủ đề về tính chặt chẽ toán học, đối lập với chủ đề về vô hạn nhỏ, các bất khả phân hay các vi phân. Ta đã thấy rằng cả hai chủ đề này đều giữ một vị trí quan trọng ở Archimedes, chủ đề thứ nhất trong toàn bộ công trình của ông, chủ đề thứ hai trong chuyên luận duy nhất của ông về Phương pháp, mà thế kỷ XVII $^{th}$ không biết đến, do đó nếu nó đã được truyền lại chứ không được phát minh lại, thì điều đó chỉ có thể là nhờ truyền thống triết học. Nguyên lý về vô hạn nhỏ, hơn nữa, xuất hiện dưới hai dạng phân biệt, tùy theo nó liên quan đến “vi phân” hay “tích phân”. Về điều này, trước hết hãy giả sử ta phải tính một diện tích phẳng: ta sẽ chia nó thành vô hạn nhiều dải song song vô hạn nhỏ bằng vô hạn nhiều đường thẳng song song cách đều nhau; và mỗi dải này là một hình chữ nhật (mặc dù các dải hữu hạn mà ta có được khi dùng hai đường song song cách nhau một khoảng hữu hạn sẽ không phải là các hình chữ nhật). Tương tự, một khối tròn xoay sẽ được phân chia thành vô hạn nhiều hình trụ có cùng chiều cao vô hạn nhỏ, bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $^8$ ; những lối diễn đạt tương tự có thể được dùng khi phân chia một diện tích thành các tam giác bởi các đường thẳng đồng quy, hoặc lập luận về độ dài của một cung đường cong như thể nó là một đa giác có vô hạn cạnh, v.v. Chắc chắn rằng những nhà toán học hiếm hoi nắm vững các phương pháp của Archimedes, như Fermat, Pascal, Huygens, Barrow, trong từng trường hợp cụ thể sẽ không gặp khó khăn gì khi thay thế việc sử dụng ngôn ngữ này bằng những chứng minh chặt chẽ; hơn nữa, họ thường chú ý rằng ngôn ngữ này chỉ là một cách viết tắt. “Sẽ dễ dàng”, Fermat nói, “đưa ra các chứng minh theo cách của Archimedes; . . . , chỉ cần đã được báo trước một lần và mãi mãi để tránh những sự lặp lại liên tục . . . ” ((XI), v. I, p. 257); tương tự Pascal: “do đó một trong các phương pháp này không khác phương pháp kia ngoài cách nói” ((XII b), p. 352)⁹; và Barrow, với sự súc tích đầy mỉa mai của mình: “longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsum?” (có thể kéo dài điều này bằng một lập luận phản chứng, nhưng để làm gì?) ((XVIII), p. 251). Dường như Fermat thận trọng trong việc đưa ra những điều mà ông không thể biện minh theo cách ấy, và vì thế tự buộc mình không phát biểu bất kỳ kết quả tổng quát nào ngoại trừ bằng ám chỉ hoặc dưới dạng một “phương pháp”: Barrow, mặc dù rất cẩn trọng, lại ít nghiêm ngặt hơn một chút. Còn đối với phần lớn những người cùng thời với họ, ít nhất có thể nói rằng tính chặt chẽ không phải là mối quan tâm chính của họ, và tên tuổi của Archimedes thường chỉ là một cái lều dùng để che phủ những hàng hóa chắc hẳn có giá trị rất lớn, nhưng đối với chúng

⁷ Trong phần tiếp theo, việc quy một kết quả cho một tác giả nào đó, vào một thời điểm nào đó, chỉ cho biết rằng kết quả này đã được tác giả ấy biết vào thời điểm đó (điều này, bất cứ khi nào có thể, đã được kiểm chứng bằng cách khảo sát các văn bản gốc); chúng tôi không có ý khẳng định tuyệt đối rằng tác giả ấy không biết nó sớm hơn, hoặc rằng ông không nhận nó từ một người khác; càng không muốn nói rằng cùng một kết quả không thể đã được những người khác thu được một cách độc lập, hoặc sớm hơn, hoặc muộn hơn.

⁸ Xem chẳng hạn phần trình bày của Pascal trong “thư gửi M. de Carcavy” (XII b). Ta sẽ nhận thấy rằng, nhờ uy tín của một ngôn ngữ vô song, Pascal đã tạo ra được ảo tưởng về sự sáng tỏ hoàn hảo, đến mức một trong những nhà biên tập hiện đại của ông phải say sưa ca ngợi “sự tỉ mỉ và chính xác trong tính chính xác của chứng minh”!

⁹ Nhưng, trong Thư gửi Monsieur A. D. D. S.: “. . . không dừng lại, dù ở các phương pháp về chuyển động, hay ở phương pháp về các bất khả phân, mà theo phương pháp của người xưa, để từ nay vấn đề được vững chắc và không còn tranh cãi” ((XII a), p. 256).

Archimedes hẳn đã không tự nhận trách nhiệm ấy. Càng hơn nữa khi người ta xét đến phép vi phân. Nếu đường cong cần được chỉnh thẳng được đồng nhất với một đa giác có vô hạn cạnh, thì chính một cung “vô hạn nhỏ” của đường cong được đồng nhất với một đoạn thẳng “vô hạn nhỏ”, hoặc là dây cung, hoặc là một đoạn của tiếp tuyến mà sự tồn tại của nó được giả định; hoặc nữa, người ta xét một khoảng thời gian “vô hạn nhỏ”, trong đó (khi người ta chỉ xét đến vận tốc) chuyển động “là” đều; táo bạo hơn nữa, Descartes, muốn xác định tiếp tuyến của đường cycloid, vốn không được bao quát bởi quy tắc tổng quát của ông, đã đồng nhất các đường cong lăn trên nhau với các đa giác, để suy ra rằng “trong cái vô hạn nhỏ” chuyển động có thể được đồng nhất với một sự quay quanh điểm tiếp xúc ((X), v. II, p. 307-338). Ở đây lại một Fermat nữa, người đặt các quy tắc của mình về tiếp tuyến và về các cực đại, cực tiểu trên những xem xét vô hạn nhỏ như thế, có thể biện minh chúng trong từng trường hợp riêng biệt ((XI b); cf. also (XI), v. II, passim, đặc biệt p. 154-162, and the Supplément aux Œuvres (Gauthier-Villars, 1922), p. 72-86); Barrow đã đưa ra những chứng minh chính xác cho nhiều định lý của ông theo lối của người xưa, xuất phát từ những giả thiết đơn về tính đơn điệu và tính lồi. Nhưng đã không còn là lúc đổ rượu mới vào bầu cũ nữa. Trong tất cả những điều đó, như ngày nay ta biết, chính khái niệm về một giới hạn đã được triển khai; và nếu người ta có thể trích từ Pascal, từ Newton, từ những người khác nữa, những phát biểu có vẻ rất gần với các định nghĩa hiện đại của chúng ta, thì chỉ cần đặt chúng trở lại trong bối cảnh của chúng để nhận thấy những trở ngại không thể vượt qua đã cản trở việc trình bày chặt chẽ. Khi, từ thế kỷ XVIII $^{th}$ , một số nhà toán học quan tâm đến tính sáng sủa muốn đặt một chút trật tự giữa những đống của cải hỗn độn của mình, thì những chỉ dẫn như thế trong các trước tác của các bậc tiền bối là vô cùng quý giá đối với họ; khi d’Alembert, chẳng hạn, giải thích rằng trong phép vi phân không có gì khác ngoài khái niệm về một giới hạn, và định nghĩa nó một cách chính xác (XXVI), người ta có thể tin rằng ông đã được dẫn dắt bởi những suy xét của Newton về “những lý do đầu tiên và cuối cùng của các đại lượng tiêu biến” (XX). Nhưng, xét về thế kỷ XVII $^{th}$ , cần phải nói rất rõ rằng con đường đến với giải tích hiện đại chỉ mở ra khi Newton và Leibniz, quay lưng với quá khứ, tạm thời đồng ý tìm kiếm sự biện minh cho các phương pháp mới không phải trong những chứng minh chặt chẽ, mà trong tính phong phú và tính nhất quán của các kết quả.

B) Động học. Archimedes, như đã thấy, đã đưa ra một định nghĩa động học về đường xoắn ốc của ông; và trong thời trung cổ đã phát triển (nhưng, nếu không có bằng chứng ngược lại, không có những xem xét vô cùng nhỏ) một lý thuyết sơ khai về sự biến thiên của các đại lượng theo thời gian, và về sự biểu diễn bằng đồ thị của chúng, mà có lẽ người ta có thể truy ngược về thiên văn học Babylon. Nhưng điều có tầm quan trọng lớn nhất đối với toán học của thế kỷ XVII $^{th}$ là, ngay từ đầu, các bài toán vi phân đã nảy sinh, không chỉ liên quan đến các tiếp tuyến, mà còn liên quan đến vận tốc. Tuy nhiên, Galileo, ((III) và (III bis)), khi khảo sát định luật vận tốc trong sự rơi của các vật nặng (sau khi đã thu được định luật cho quãng đường $x = at^2$ , từ các thí nghiệm trên mặt phẳng nghiêng), không tiến hành bằng phép vi phân: ông đặt ra nhiều giả thuyết về vận tốc, trước hết là $v = dx/dt = cx$ ((III), v. VIII, p 203), rồi sau đó là $v = ct$ (id., p. 208), và tìm cách suy ra lại định luật quãng đường bằng lập luận, theo một cách khá tối nghĩa, về đồ thị của vận tốc như một hàm của thời gian; Descartes (năm 1618) cũng lập luận tương tự, về định luật $v = ct$ , nhưng với tư cách một nhà toán học đích thực và với mức độ rõ ràng mà ngôn ngữ của các đại lượng vô cùng bé cho phép $^{10}$ ((X), v. X, p. 75-78); trong cả hai trường hợp này, đồ thị của vận tốc (trong trường hợp này là một đường thẳng) đóng vai trò chính, và người ta có thể hỏi đến mức nào họ ý thức được tính tỉ lệ giữa các quãng đường đã đi và các diện tích nằm giữa trục thời gian và đường cong của các vận tốc; nhưng khó mà khẳng định điều gì về điểm này, mặc dù ngôn ngữ của Descartes dường như hàm ý một sự nhận thức về sự kiện đang xét (mà một số nhà sử học muốn truy về thời trung cổ $^{11}$ ), dù Galileo không có một ám chỉ rõ ràng nào về nó. Barrow đã phát biểu điều đó một cách tường minh vào năm 1670 ((XVIII), p. 171); có lẽ lúc bấy giờ điều này chẳng mới mẻ với ai, và Barrow cũng không trình bày nó như vậy; nhưng, cũng như đối với kết quả này hay bất kỳ kết quả khác nào, không nên cố ấn định một niên đại quá chính xác. Còn về giả thuyết $v = cx$ , cũng được Galileo xét đến, ông chỉ bằng lòng (loc. cit.) với việc chứng minh rằng nó không đứng vững (hay, theo ngôn ngữ hiện đại, rằng phương trình $dx/dt = cx$ không có nghiệm $\neq 0$ nào triệt tiêu khi $t = 0$ ), bằng một lập luận tối nghĩa mà sau này Fermat ((XI), v. II, p. 267-276) đã công phu triển khai (và lập luận ấy gần như nói rằng, $2x$ là một nghiệm nếu $x$ là nghiệm, thì $x \neq 0$ sẽ trái với tính duy nhất của nghiệm hiển nhiên về mặt vật lý). Nhưng chính định luật $dx/dt = cx$ này, vào năm 1614, đã được Napier dùng để đưa ra các lôgarit của mình, cho chúng ông đã cho một định nghĩa động học (IV), và, theo ký hiệu của chúng ta, sẽ được viết như sau: nếu, trên hai đường thẳng, hai vật chuyển động theo các luật $dx/dt = a,\ dy/dt = -ay/r,\ x_0 = 0,\ y_0 = r$ , thì người ta nói rằng $x$ là “lôgarit” của $y$ (theo ký hiệu hiện đại, $x = r \log(r/y)$ ). Ta đã thấy rằng đường cong nghiệm của $dy/dx = c/x$ xuất hiện vào năm 1639 cùng với Descartes, người đã mô tả nó theo kiểu động học ((X), v. II, p. 514-517); đúng là ông đã xếp tất cả các đường cong phi đại số một cách khá khinh miệt vào loại “cơ học”, và tuyên bố loại trừ chúng khỏi hình học; nhưng may thay, điều cấm kị này, mà Leibniz, về sau rất lâu, vẫn tin rằng mình phải phản đối kịch liệt, đã không được các đương thời của ông tuân theo, cũng như chính Descartes. Đường cycloid, và đường xoắn ốc lôgarit, đã xuất hiện, và được nghiên cứu say mê, và việc nghiên cứu chúng đã góp phần mạnh mẽ vào sự thâm nhập lẫn nhau của các phương pháp hình học và động học. Nguyên lý hợp thành chuyển động, và chính xác hơn là hợp thành vận tốc, là cơ sở của lý thuyết chuyển động của các vật phóng được Galileo trình bày trong kiệt tác của tuổi già ông, Discorsi năm 1638 (((III), v. VIII, p. 268-313), một lý thuyết vì thế ngầm chứa một sự xác định mới của tiếp tuyến với một parabol; nếu Galileo không nhận xét điều này một cách tường minh, thì ngược lại Torricelli (VII), v. III, p. 103-159) đã nhấn mạnh điểm này, và dựa ngay trên nguyên lý này để xây dựng một phương pháp tổng quát nhằm xác định các tiếp tuyến của những đường cong mà có thể đưa ra một định nghĩa động học. Đúng là ông đã bị Roberval (VIII a) đi trước trong việc này, vài năm trước đó, người nói rằng mình đã được dẫn tới phương pháp này nhờ nghiên cứu đường cycloid; bài toán tương tự về tiếp tuyến với

$^{10}$ Decartes còn thêm một lập luận hình học thú vị, theo đó ông suy ra định luật $x = at^2$ từ giả thuyết $dv/dt = c$ . Mặt khác, thật trớ trêu, mười năm sau, khi thấy ông làm lộn xộn các ghi chép của mình, và sao chép cho Mersenne dùng một lập luận sai về cùng câu hỏi ấy, nơi đồ thị của vận tốc như một hàm của thời gian bị lẫn với đồ thị như một hàm của quãng đường đã đi ((X), v. I, p. 71). $^{11}$ H. Wielietner, Der “Tractatus de latitudinibus formarum” des Oresme, Bibl. Mat. (III), v. 13 (1912), p. 115-145.

Đường cycloid, ngoài ra, đã cho Fermat cơ hội để chứng tỏ sức mạnh của phương pháp vi phân của ông ((XI b), p. 162-165), trong khi Descartes, không thể áp dụng phương pháp đại số của mình ở đây, đã sáng chế ra tâm quay tức thời cho trường hợp này ((X), v. II, p. 307-338).

Nhưng, cùng với sự phát triển của phép tính vi phân, động học không còn là một khoa học riêng nữa. Người ta càng ngày càng thấy rằng, mặc dù Descartes, các đường cong đại số và các hàm số, xét từ quan điểm “địa phương”, tức của phép tính vi phân, không có gì để phân biệt chúng với những đường cong và hàm số khác tổng quát hơn nhiều; các hàm số và đường cong có một định nghĩa động học thì cũng là những hàm số và đường cong như các loại khác, có thể được xử lý bằng cùng những phương pháp; và biến “thời gian” chỉ đơn thuần là một tham số mà khía cạnh thời gian của nó hoàn toàn chỉ là vấn đề ngôn ngữ. Vì vậy, ở Huygens, ngay cả khi ông bàn về cơ học, chính hình học chi phối (XVI b); và Leibniz không dành cho thời gian một vai trò đặc quyền nào trong phép tính của mình. Trái lại, Barrow đã đặt ra, từ sự biến thiên đồng thời của nhiều đại lượng theo một biến phổ quát độc lập được quan niệm như một “thời gian”, nền tảng của một phép tính vi phân có xu hướng hình học. Ý tưởng này, hẳn đã đến với ông khi ông tìm cách khôi phục phương pháp hợp thành chuyển động, mà sự tồn tại của nó ông chỉ biết qua lời đồn, được trình bày chi tiết, bằng những lời lẽ rất rõ ràng và rất mạnh mẽ, trong ba bài đầu của Lectiones Geometricae (XVIII); ở đó, chẳng hạn, ông chứng minh cẩn thận rằng nếu một điểm chuyển động có, làm hình chiếu trên hai trục vuông góc AY, AZ, các điểm chuyển động mà một điểm chuyển động với vận tốc không đổi $a$ và điểm kia với vận tốc $v$ tăng theo thời gian, thì quỹ đạo có một tiếp tuyến với hệ số góc bằng $v/a$ . và lõm về phía chiều tăng của Z. Trong phần còn lại của Lectiones, ông đã đẩy những ý tưởng này đi rất xa, và mặc dù ông thích làm dáng khi soạn chúng từ đầu đến cuối dưới một dạng càng hình học và càng ít đại số càng tốt, người ta có thể thấy ở đó, cùng với Jakob Bernoulli ((XXIII), v. I, p. 431 and 453), cái tương đương với một phần khá lớn phép tính vi phân của Newton và Leibniz. Chính những ý tưởng ấy đã làm điểm xuất phát cho Newton ((XIX c) và (XX)): các “fluentes” của ông là những đại lượng khác nhau, các hàm của một “thời gian” vốn chỉ là một tham số phổ quát, và các “fluxions” là các đạo hàm của chúng theo “thời gian”; khả năng mà Newton cho phép mình thay đổi tham số khi cần cũng hiện diện trong công trình của Barrow, mặc dù ông sử dụng nó kém linh hoạt hơn 12. Ngôn ngữ của fluxions, được Newton tiếp nhận và do uy tín của ông áp đặt lên các nhà toán học Anh của thế kỷ sau, vì thế biểu thị tiền đồn cuối cùng, trong thời kỳ mà chúng ta xét, của các phương pháp động học mà vai trò thực sự của chúng nay đã chấm dứt.

12 Về các quan hệ giữa Barrow và Newton, xem Osmond, Isaac Barrow, His life and time, London, 1944. Trong một bức thư năm 1663 (cf. St. P. Rigaud, Correspondence of scientific men ..., Oxford, 1841, vol. II, p. 32-33), Barrow nói về những suy nghĩ của mình, vốn đã có từ trước, về sự hợp thành chuyển động, điều đã dẫn ông tới một định lý rất tổng quát về tiếp tuyến (nếu đó là định lý của Lect. Geom., Lect. X (XVIII), p. 247), định lý này tổng quát đến mức thực ra chứa như một trường hợp riêng tất cả những gì đã được làm cho đến lúc bấy giờ về đề tài đó). Mặt khác, Newton là học trò của Barrow trong các năm 1664 và 1665, nhưng nói rằng ông đã độc lập tìm ra quy tắc của mình để suy ra một quan hệ giữa các “fluxions” của chúng từ một quan hệ giữa các “fluentes”. Có thể Newton đã tiếp thu từ sự giảng dạy của Barrow ý tưởng tổng quát về các đại lượng biến thiên theo hàm của thời gian, và về các vận tốc biến thiên của chúng, những khái niệm mà các suy nghĩ của ông về động lực học (với điều này Barrow hẳn hoàn toàn xa lạ) chẳng bao lâu sau đã giúp làm sáng tỏ.

C) Hình học đại số. Đây là một chủ đề ký sinh, xa lạ với đối tượng của chúng ta, chen vào bởi chỗ Descartes, với thái độ có hệ thống của mình, đã chủ trương biến các đường cong đại số thành đối tượng độc quyền của hình học ((X), v. VI, p. 390); hơn nữa, chính là một phương pháp của hình học đại số, chứ không phải, như Fermat, một phương pháp của phép tính vi phân, ông đã đưa ra để xác định các tiếp tuyến. Những kết quả mà các nhà cổ đại để lại về giao điểm của một đường thẳng và một conic, những suy nghĩ của chính Descartes về giao điểm của hai conic, và các bài toán quy về chúng, hẳn đã tự nhiên dẫn ông tới ý tưởng lấy sự trùng nhau của hai giao điểm làm tiêu chuẩn tiếp xúc: ngày nay chúng ta biết rằng trong hình học đại số đây là tiêu chuẩn đúng, và có tính tổng quát lớn đến mức nó độc lập với khái niệm giới hạn và với bản chất của “trường cơ sở”. Descartes trước hết áp dụng nó theo một cách không mấy tiện lợi, cố làm cho hai giao điểm của đường cong đang xét và một đường tròn có tâm trên Ox trùng nhau tại một điểm cho trước ((X), v. VI, p. 413-424); các học trò của ông, van Schooten, Hudde, thay đường tròn bằng một đường thẳng và thu được hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong

F(x, y) = 0

dưới dạng $-F'_x / F'_y$ , các “đa thức dẫn xuất” $F'_x, F'_y$ được định nghĩa bởi quy tắc hình thành hình thức của chúng ((X bis), v. I, p. 147-344 and (XXII), p. 234-237); de Sluse cũng đạt được kết quả này vào khoảng cùng thời gian ấy ((XXII), p. 232-234). Dĩ nhiên, những phân biệt rạch ròi mà chúng ta ghi nhận ở đây, và chỉ chúng mới cho phép hiểu được cuộc tranh luận giữa Descartes và Fermat, không thể nào hiện hữu trong đầu óc các nhà toán học của thế kỷ XVII $^{th}$ : chúng ta chỉ nhắc đến chúng để làm sáng tỏ một trong những biến cố lạ lùng nhất của lịch sử mà ta đang xét, và để nhận xét sự mờ nhạt hầu như tức khắc và hoàn toàn của các phương pháp đại số, hiện tạm thời bị các phương pháp vi phân hấp thụ.

D) Phân loại các bài toán. Chủ đề này, như chúng ta đã thấy, dường như không có trong các công trình của Archimedes, và đối với ông việc ông giải một bài toán trực tiếp hay quy về một bài toán đã được xử lý trước đó là không quan trọng. Vào thế kỷ XVII $^{th}$ , các bài toán về phép vi phân lần đầu tiên xuất hiện dưới ba dạng phân biệt: vận tốc, tiếp tuyến, cực đại và cực tiểu. Đối với những bài toán sau cùng này, Kepler (V) đã nhận xét (điều mà người ta đã thấy ở Oresme $^{13}$ và thậm chí các nhà thiên văn Babylon cũng không bỏ qua) rằng sự biến thiên của một hàm đặc biệt chậm trong lân cận của một cực đại. Fermat, ngay trước năm 1630 ((XI bis); cf. (XI), v. II, p. 71) đã khởi xướng phương pháp vô cùng bé của mình nhân các bài toán này, mà theo ngôn ngữ hiện đại tương đương với việc khảo sát hai số hạng đầu tiên (số hạng hằng và số hạng cấp một) của khai triển Taylor, và viết rằng số hạng thứ hai triệt tiêu tại một điểm cực trị; ông tiếp tục mở rộng phương pháp của mình cho việc xác định các tiếp tuyến, và thậm chí áp dụng nó vào việc tìm kiếm các điểm uốn. Nếu xét đến những điều đã nói ở trên về động học, ta thấy rằng sự thống nhất của ba loại bài toán này liên quan đến đạo hàm cấp một đã được thực hiện khá sớm. Còn đối với các bài toán liên quan đến

$^{13}$ H. WIELEITNER, Der “Tractatus de latitudinibus formarum” des Oresme, Bibl. Mat. (III), v. 13 (1912), p. 115-145, in particular p. 141.

đạo hàm cấp hai, chúng chỉ xuất hiện muộn hơn, trên hết là với các công trình của Huygens về đường khai triển của một đường cong (xuất bản năm 1673 trong Horologium Oscillatorium của ông (XVI b)); vào thời điểm này, Newton, với các lưu biến của mình, đã sở hữu tất cả các công cụ giải tích cần thiết để giải quyết những bài toán như vậy; và, bất chấp toàn bộ tài năng hình học mà Huygens đã dành cho nó (và thứ mà hình học vi phân về sau sẽ thu lợi ở giai đoạn đầu của nó), chúng không phục vụ mục đích nào khác, trong thời kỳ mà chúng ta xét đến, ngoài việc cho phép giải tích mới công bố sức mạnh của các công cụ của nó.

Đối với phép tích phân, nó xuất hiện ở người Hy Lạp dưới dạng tính toán diện tích, thể tích, mômen, dưới dạng tính toán chu vi của đường tròn và diện tích của các đoạn cầu: mà thế kỷ XVII $^{th}$ đã thêm vào việc hiệu chỉnh các đường cong, tính toán diện tích của các mặt tròn xoay, và (với công trình của Huygens về con lắc hợp thành (XVI $b$ )) việc tính toán các mômen quán tính. Trước hết đó là vấn đề nhận ra các mối liên hệ giữa tất cả các bài toán này. Đối với diện tích và thể tích, bước tiến khổng lồ đầu tiên được thực hiện bởi Cavalieri, trong Hình học về các phần tử bất khả phân (VI $a$ ) của ông. Ở đó ông phát biểu, và tuyên bố chứng minh, đại khái nguyên lý sau: nếu hai diện tích phẳng có tính chất là mọi đường thẳng song song với một hướng cho trước cắt chúng theo các đoạn có tỉ số hằng, thì các diện tích có cùng tỉ số; một nguyên lý tương tự được phát biểu cho các thể tích bị cắt bởi các mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định thành các diện tích có số đo theo một tỉ số hằng. Có khả năng các nguyên lý này đã được gợi ý cho Cavalieri bởi những định lý như của Euclid (hay đúng hơn là của Eudoxus) về tỉ số thể tích của các hình chóp có cùng chiều cao, và rằng trước khi phát biểu chúng theo một cách tổng quát, ông đã trước hết kiểm chứng tính đúng đắn của chúng trên một số lớn ví dụ lấy từ Archimedes. Ông đã “biện minh” cho chúng bằng cách sử dụng một ngôn ngữ mà về tính hợp pháp của nó người ta thấy ông đặt câu hỏi với Galileo trong một bức thư năm 1621, mặc dù ngay từ năm 1622 ông đã dùng nó không do dự ((III), v. XIII, p. 81 và 86) và đây là phần cốt yếu của nó. Xét chẳng hạn hai diện tích

cái thứ nhất $0 \leq x \leq a,\ 0 \leq y \leq f(x)$ , cái thứ hai $0 \leq x \leq a,\ 0 \leq y \leq g(x)$ ;

các tổng các tung độ $\sum_{k=0}^{n-1} f(ka/n),\ \sum_{k=0}^{n-1} g(ka/n)$ có một tỉ số mà, với $n$ đủ lớn, gần với tỉ số của hai diện tích đến mức tùy ý yêu cầu, và thậm chí không khó để chứng minh điều này bằng phương pháp vét cạn khi $f$ và $g$ là đơn điệu; Cavalieri chuyển qua giới hạn, đặt $n = \infty$ , và nói về “tổng của tất cả các tung độ” của đường cong thứ nhất, tổng này có tỉ số với tổng tương tự của đường cong thứ hai đúng bằng một cách nghiêm ngặt với tỉ số diện tích của chúng; điều tương tự đối với thể tích; ngôn ngữ này về sau được chấp nhận một cách phổ biến, ngay cả bởi những tác giả như Fermat, những người có sự nhận thức rõ ràng nhất về các sự kiện chính xác mà nó bao hàm. Đúng là sau đó nhiều nhà toán học, như Roberval (VIII $a$ ) và Pascal (XII $b$ ), thích thấy, trong các tung độ của đường cong mà người ta lập “tổng”, không phải các đoạn thẳng như Cavalieri, mà là các hình chữ nhật có cùng bề rộng vô cùng nhỏ, điều này không phải là một tiến bộ lớn xét về phương diện nghiêm ngặt (bất kể Roberval nói gì), nhưng có lẽ giúp trí tưởng tượng không đi chệch hướng quá dễ dàng. Trong mọi trường hợp, và vì người ta chỉ xét đến các tỉ số, biểu thức “tổng của tất cả các tung độ” của đường cong $y = f(x)$ hoặc, nói ngắn gọn, “tất cả các tung độ” của đường cong, rốt cuộc, như nó cũng xuất hiện trong các công trình của Pascal, là tương đương chính xác với $\int y\, dx$ .

Từ ngôn ngữ mà Cavalieri dùng, các nguyên lý nêu trên suy ra một cách tất yếu, và cũng lập tức kéo theo những hệ quả mà chúng ta sẽ phát biểu bằng ký hiệu hiện đại, với hiểu rằng $\int f\, dx$ chỉ đơn giản nghĩa là diện tích nằm giữa Ox và đường cong $y = f(x)$ . Trước hết, mọi diện tích phẳng bị cắt bởi mỗi đường thẳng $x =$ hằng thành các đoạn có tổng độ dài là $f(x)$ , thì bằng $\int f\, dx$ ; điều tương tự đúng cho mọi thể tích bị cắt bởi mỗi mặt phẳng $x =$ hằng thành một diện tích có số đo $f(x)$ . Hơn nữa, $\int f\, dx$ phụ thuộc tuyến tính vào $f$ ; ta có $\int (f + g)\, dx = \int f\, dx + \int g\, dx$ , $\int cf\, dx = c \int f\, dx$ . Đặc biệt, mọi bài toán về diện tích và thể tích đều được quy về phép cầu phương, tức là việc tính các diện tích có dạng $\int f\, dx$ ; và, điều có lẽ mới mẻ hơn và quan trọng hơn, phải coi hai bài toán cùng phụ thuộc vào một phép cầu phương là tương đương, và người ta có công cụ để quyết định, trong từng trường hợp, xem điều đó có đúng hay không. Các nhà toán học Hy Lạp chưa bao giờ đạt tới (hoặc có lẽ sẽ chẳng bao giờ đồng ý đạt tới) một mức độ “trừu tượng” như vậy. Vì thế ((VI), p. 133) Cavalieri “chứng minh” khá dễ dàng rằng hai thể tích đồng dạng thì tỉ số của chúng bằng lập phương của tỉ số đồng dạng, trong khi Archimedes chỉ nêu kết luận này, đối với các mặt bậc hai tròn xoay và các đoạn của chúng, ở tận cuối lý thuyết của ông về các khối ấy ((II), v. p. 258). Nhưng để đạt tới điểm này thì phải gạt bỏ tính chặt chẽ kiểu Archimedes.

Như vậy, người ta đã có ở đó phương tiện để phân loại các bài toán, ít nhất là tạm thời, theo mức độ khó khăn thực sự hay bề ngoài do các phép cầu phương mà chúng quy về đặt ra. Đây là chỗ đại số thời ấy làm mẫu mực: vì trong đại số cũng vậy, và trong các bài toán đại số nảy sinh trong hình học, mặc dù người Hy Lạp chỉ quan tâm đến lời giải, các nhà đại số học của thế kỷ XVI $^{th}$ và XVII $^{th}$ đã bắt đầu chú ý chủ yếu đến việc phân loại các bài toán theo bản chất của các công cụ có thể dùng để giải chúng, như thế dự báo lý thuyết hiện đại về các mở rộng đại số; và họ không chỉ tiến hành một sự phân loại sơ bộ các bài toán theo bậc của phương trình mà chúng phụ thuộc vào, mà còn đã nêu ra những câu hỏi khó về khả năng: khả năng giải mọi phương trình bằng căn thức (điều mà nhiều người không còn tin nữa), v.v. (xem Ghi chú lịch sử của Quyển II, chương V); họ cũng bận tâm đến việc quy mọi bài toán cùng một bậc về một dạng kiểu hình học. Tương tự, trong Phép tính tích phân, các nguyên lý của Cavalieri đặt ông vào vị trí nhận thấy ngay rằng nhiều bài toán do Archimedes giải được đều quy về các phép cầu phương $\int x^n\, dx$ với $n = 1, 2, 3$ ; và ông đã nghĩ ra một phương pháp khéo léo để thực hiện phép cầu phương này cho tùy ý nhiều giá trị của $n$ (phương pháp này tương đương với việc nhận thấy rằng $\int_0^{2a} x^n\, dx = c_n a^{n+1}$ do tính đồng nhất, và viết

\int_0^{2a} x^n\, dx = \int_{-a}^a (a + x)^n\, dx = \int_0^a \left( (a + x)^n + (a - x)^n \right)\, dx,

từ đó, khi khai triển ra, ta thu được một quan hệ truy hồi cho các $c_n$ ((VI a), p. 159 và (VI b), p. 269-273). Nhưng Fermat đã đi xa hơn nhiều, trước hết chỉ ra (trước năm 1636) rằng $\int_0^a x^n\, dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}$ với $n$ là một số nguyên dương ((XI), v. II, p. 83), bằng một công thức cho các tổng lũy thừa của N số nguyên đầu tiên (một quá trình sao theo phép cầu phương của đường xoắn ốc của Archimedes), rồi bằng cách mở rộng công thức này cho mọi số hữu tỉ $n \neq -1$ ((XI), v. 1, p. 195-198); ông đã không viết ra một chứng minh của kết quả cuối cùng này (được báo cho Cavalieri vào năm 1644) cho đến muộn hơn nhiều, sau khi đọc các trước tác của Pascal về tích phân $^{14}$ (XI c).

Những kết quả này, cùng với các xét đoán hình học thay thế cho phép thay đổi biến và phép tích phân từng phần, đã cho phép người ta giải được một số lớn các bài toán quy về các phép cầu phương sơ cấp. Vượt qua đó, người ta trước hết gặp phép cầu phương của đường tròn và hyperbol: vì vào thời ấy người ta chủ yếu làm việc với các “tích phân bất định”, nên các lời giải của những bài toán này, nói theo thuật ngữ hiện đại, lần lượt do các hàm lượng giác ngược và bởi logarit cung cấp; chúng được cho theo kiểu hình học, và ta đã thấy logarit dần dần được đưa vào giải tích như thế nào. Những phép cầu phương này là đề tài của nhiều công trình, của Grégoire de St.-Vincent (IX), Huygens ((XVI c) và (XVI d)), Wallis (XV a), Gregory (XVII a); người đầu tiên tin rằng mình đã thực hiện được phép cầu phương của đường tròn, người cuối cùng tin rằng mình đã chứng minh được tính siêu việt của $\pi$ ; họ phát triển các quá trình xấp xỉ liên tiếp của các hàm tròn và logarit, một số thiên về lý thuyết, một số hướng tới phép tính số, mà chẳng bao lâu nữa, cùng với Newton ((XIX a) và (XIX b)), Mercator (XIII), J. Gregory (XVII bis), rồi Leibniz (XXII), sẽ đi tới các phương pháp khai triển chuỗi tổng quát. Trong mọi trường hợp, dần dần nảy sinh niềm tin về tính “bất khả” của các phép cầu phương nói trên, tức là về tính phi đại số của các hàm mà chúng xác định; đồng thời, người ta dần quen coi một bài toán là đã được giải quyết đến mức mà bản chất của nó cho phép, khi nó đã được quy về một trong những phép cầu phương “bất khả” ấy. Đó là trường hợp, chẳng hạn, của các bài toán về cycloid, được giải bằng các hàm lượng giác, và việc chỉnh dài của parabol, được quy về phép cầu phương của hyperbol.

Các bài toán chỉnh độ dài, mà chúng ta vừa nêu hai bài nổi tiếng nhất, có một tầm quan trọng đặc biệt, vì chúng tạo thành một bước chuyển hình học tự nhiên giữa phép vi phân, mà chúng giả thiết trước, và phép tích phân, mà chúng thuộc về; có thể ghép vào đó các bài toán về diện tích các mặt tròn xoay. Người xưa chỉ xét trường hợp của đường tròn và của mặt cầu. Những câu hỏi này chỉ xuất hiện rất muộn vào thế kỷ XVII $^{th}$ ; dường như khó khăn, khi ấy không thể vượt qua, của việc chỉnh độ dài elip (được xem là đường cong đơn giản nhất sau đường tròn) đã làm nản lòng mọi cố gắng. Các phương pháp động học đã đem lại một số chỗ dựa cho những bài toán này, và cho phép Roberval (VIII b) và Torricelli ((VII), v. III, p. 103-159), trong khoảng từ 1640 đến 1645, thu được các kết quả về các cung của các đường xoắn ốc; nhưng chỉ trong những năm ngay trước 1660 chúng mới trở thành vấn đề thời sự; đường xycloit đã được Wren chỉnh độ dài vào năm 1658 ((XV), v. I, p. 533-541); ít lâu sau đường cong $y^3 = ax^2$ bởi nhiều tác giả ((XV), v. I, p. 551-553; (X bis), p. 517-520; (XI d)), và cả một số đường khác nữa ((XI), v. I, p. 199; (XVI), v. II, p. 224) đã quy việc chỉnh độ dài parabol về phép cầu phương của hyperbol (nghĩa là, về một hàm đại số-logarit). Ví dụ cuối cùng này là quan trọng nhất, vì nó là một trường hợp riêng của nguyên lý tổng quát rằng việc chỉnh độ dài của đường cong $y = f(x)$ chẳng qua chỉ là phép cầu phương của $y = \sqrt{1 + (f'(x))^2}$ ; và chính từ nguyên lý này mà Heurat đã suy ra nó. Cũng không kém phần thú vị là theo dõi những nỗ lực của Fermat lúc đã già, trong công trình của ông về đường cong $y^3 = ax^2$ (XI d); với đường cong $y = f(x)$ có độ dài cung $s = g(x)$ ông liên hệ đường cong $y = g(x)$ , và xác định tiếp tuyến của đường cong này từ tiếp tuyến của đường cong thứ nhất (nói theo ngôn ngữ hiện đại, ông đã chỉ ra rằng các hệ số góc $f'(x)$ , $g'(x)$ của chúng liên hệ với nhau bởi quan hệ

(14) Điều đáng chú ý là Fermat, người rất cẩn trọng, đã dùng tính cộng tính của tích phân, mà không nói một lời nào để biện minh cho nó, trong những ứng dụng mà ông nêu ra của các kết quả tổng quát của mình: ông có dựa vào tính đơn điệu từng đoạn, được giả thiết ngầm, của các hàm đang xét, từ đó quả thực không khó để biện minh cho tính cộng tính bằng phương pháp vét cạn? hay là ông đã, dù không muốn, bị cuốn theo bởi ngôn ngữ mà ông sử dụng?

(g'(x))^2 = 1 + (f'(x))^2;

người ta thấy mình rất gần với Barrow, và chỉ cần kết hợp kết quả này với kết quả của Heurat (đó cũng chính là điều Gregory đã làm vào năm 1668 ((XVII bis), p. 488-491)) là có thể thu được quan hệ giữa tiếp tuyến và cầu phương; nhưng Fermat chỉ nêu rằng nếu, đối với hai đường cong mỗi đường được quy chiếu vào một hệ trục tọa độ vuông góc, các tiếp tuyến tại những điểm có cùng hoành độ luôn có cùng hệ số góc, thì các đường cong bằng nhau, hay nói cách khác, rằng sự biết $f'(x)$ xác định $f(x)$ (tới một hằng số); và ông chỉ biện minh cho mệnh đề này bằng một lập luận mờ tối không có giá trị chứng minh.

Chưa đầy mười năm sau, Lectiones Geometricae của Barrow (XVIII) đã ra đời. Ngay từ đầu (Lect. I), ông nêu về nguyên lý rằng, trong một chuyển động thẳng, các quãng đường tỉ lệ với các diện tích $\int_0^t v \, dt$ nằm giữa trục thời gian và đồ thị của vận tốc. Người ta sẽ chờ đợi ông suy ra từ đó mối liên hệ giữa đạo hàm, được quan niệm như hệ số góc của tiếp tuyến, và tích phân, được quan niệm như một diện tích, và từ phương pháp động học về việc xác định tiếp tuyến mà ông đã nêu trước đó; nhưng không hề có điều ấy, và sau đó ông chứng minh, theo một cách hoàn toàn hình học ((XVIII), Lect. X, §11, p. 243) rằng, nếu hai đường cong $y = f(x)$ , $Y = F(x)$ sao cho các tung độ Y tỉ lệ với các diện tích $\int_a^x y \, dx$ (nghĩa là, nếu $cF(x) = \int_a^x f(x) \, dx$ ), thì tiếp tuyến của $Y = F(x)$ cắt Ox tại điểm có hoành độ $x - T$ được xác định bởi $y/Y = c/T$ ; chứng minh ấy, hơn nữa, hoàn toàn đúng, xuất phát từ giả thiết minh nhiên rằng $f(x)$ đơn điệu: và người ta nói rằng chiều biến thiên của $f(x)$ xác định chiều lõm của $Y = F(x)$ . Nhưng có thể nhận thấy rằng định lý này hơi bị lẫn trong đám đông những định lý khác, trong đó có nhiều cái rất thú vị; người đọc không được báo trước chỉ bị cuốn vào việc nhìn thấy ở đó một phương tiện giải bằng phép cầu phương bài toán $Y/T = f(x)/c$ , tức là một bài toán riêng về xác định một đường cong từ thông tin về tiếp tuyến của nó (hay, như ta nói, một phương trình vi phân thuộc một loại đặc biệt); và lại càng như vậy vì các ứng dụng mà Barrow đưa ra trước hết liên quan đến những bài toán cùng loại (nghĩa là các phương trình vi phân giải được bằng "tách biến"). Ngôn ngữ hình học mà Barrow tự đặt cho mình ở đây là một nguyên nhân khiến mối liên hệ giữa vi phân và tích phân, vốn rất rõ ràng trong lĩnh vực động học, trở nên phần nào bị che mờ.

Mặt khác, nhiều phương pháp đã hình thành, nhằm quy một số bài toán tích phân về những bài toán khác, và để "giải" chúng, hoặc ít nhất là quy chúng về các bài toán "bất khả" đã được phân loại. Ở dạng hình học đơn giản nhất, tích phân từng phần gồm việc viết diện tích bị chặn bởi O.x, O.y, và một cung của đường cong đơn điệu $y = f(x)$ nối một điểm $(a, 0)$ của Ox với một điểm $(0, b)$ của Oy, dưới dạng $\int_0^a y\, dx = \int_0^b x\, dy$ ; và nó thường được dùng một cách hàm ẩn. Sự khái quát hóa sau đây xuất hiện, dù đã bị che giấu khá kỹ, trong Pascal ((XII c), 287-288): $f(x)$ như trên, hãy cho $g(x)$ là một hàm $\geqslant 0$ , và đặt $G(x) = \int_0^x g(x)\, dx$ ; khi đó ta có $\int_0^a y\, g(x)\, dx = \int_0^b G(x)\, dy$ , điều mà ông đã chứng minh một cách khéo léo bằng cách tính thể tích của khối $0 \leqslant x \leqslant a,\ 0 \leqslant y \leqslant f(x),\ 0 \leqslant z \leqslant g(x)$ theo hai cách; trường hợp riêng $g(x) = x^n,\ G(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ giữ một vai trò quan trọng, cả trong Pascal (loc. cit., p. 289-291) lẫn trong Fermat ((XI), v. I, p. 271); người sau (mà công trình mang nhan đề đầy ý nghĩa "Transmutation et émendation des équations des courbes, et ses applications variées à la comparaison des espaces curvilignes entre eux et avec les espaces rectilignes . . .") đã không chứng minh điều này, hẳn là vì ông không thấy cần lặp lại điều Pascal vừa mới công bố. Những định lý về "transmutation", trong đó ta sẽ thấy một sự kết hợp giữa tích phân từng phần và đổi biến, thay thế điều đó ở một mức độ nhất định, vì nó chỉ được đưa vào muộn hơn nhiều; thật vậy, điều này đi ngược với lối tư duy của thời đó, vẫn còn quá hình học và quá ít giải tích, để cho phép dùng các biến khác ngoài những biến do hình vẽ áp đặt, tức là một trong hai tọa độ (hoặc đôi khi tọa độ cực), hay độ dài cung của đường cong. Chính vì thế mà ta tìm thấy trong Pascal (XII d) những kết quả mà, theo ký hiệu hiện đại, có thể viết, đặt $x = \cos t,\ y = \sin t$ , và đối với các hàm riêng $f(x)$ :

\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^{\pi/2} f(x)y\, dt,

và, trong J. Gregory ((XVII bis), p. 489), với một đường cong $y = f(x)$ và cung của nó $s$ , $\int y\, ds = \int z\, dx$ , với $z = y \sqrt{1 + {y'}^2}$ . Chỉ đến năm 1669 ta mới thấy Barrow nắm được định lý tổng quát về đổi biến ((XVIII), p. 298-299); phát biểu của ông, như mọi khi mang tính hình học, quy về điều sau: hãy cho $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi một quan hệ đơn điệu, và cho $p$ là hệ số góc của quan hệ này tại điểm $(x, y)$ ; khi đó, nếu các hàm $f(x),\ g(y)$ thỏa mãn $f(x)/g(y) = p$ với mọi cặp giá trị tương ứng $(x, y)$ , thì các diện tích $\int f(x)\, dx,\ \int g(y)\, dy$ , lấy giữa các cận tương ứng, là bằng nhau; và ngược lại, nếu các diện tích này luôn bằng nhau ( $f$ và $g$ được ngầm giả thiết là cùng dấu không đổi), thì $p = f(x)/g(y)$ ; chiều đảo lại tự nhiên được dùng để áp dụng định lý vào việc giải các phương trình vi phân (bằng "tách biến"). Nhưng Barrow chỉ đưa định lý này vào một phụ lục (Lect. XII, app. III, theor. IV), nơi, nhận thấy nhiều kết quả trước đó của ông chỉ là những trường hợp riêng, ông đã tự bào chữa rằng mình phát hiện ra nó quá muộn để có thể dùng nó nhiều hơn.

Vào khoảng năm 1670, tình hình là như sau. Người ta biết cách xử lý các bài toán rút gọn về đạo hàm cấp một bằng những phương pháp thống nhất, và Huygens đã xử lý các câu hỏi hình học rút gọn về đạo hàm cấp hai. Người ta biết cách rút gọn mọi bài toán của tích phân về các phép cầu phương; người ta có những kỹ thuật khác nhau, mang tính hình học, để rút gọn các phép cầu phương này về những phép cầu phương khác, trong các trường hợp được phân loại kém, và từ quan điểm này, người ta đã quen với việc xử lý các hàm lượng giác và logarit; người ta đã nhận ra mối liên hệ giữa phép vi phân và phép tích phân; người ta đã bắt đầu tiếp cận “phương pháp tiếp tuyến nghịch đảo”, tên gọi lúc ấy dành cho các bài toán rút gọn về các phương trình vi phân cấp một. Phát hiện gây chấn động của chuỗi $\log(1 + x) = - \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^n / n$ bởi Mercator vừa mới mở ra những triển vọng hoàn toàn mới về việc áp dụng các chuỗi, và chủ yếu là các chuỗi lũy thừa, vào những bài toán từng được gọi là “bất khả”. Mặt khác, hàng ngũ các nhà toán học đã thưa đi rất nhiều: Barrow đã từ bỏ ghế giáo sư để nhận ghế giảng đạo; ngoài Huygens (người mà hầu như toàn bộ sự nghiệp toán học của ông đã ở phía sau lưng, vì ông đã thu được hầu như tất cả các kết quả chính của Horologium Oscillatorium mà ông đang tự mình biên tập một cách dứt điểm), chỉ còn Newton ở Cambridge, và J. Gregory cô lập tại Aberdeen là còn hoạt động; và Leibniz chẳng bao lâu nữa sẽ gia nhập họ với lòng nhiệt thành của người mới nhập môn. Cả ba, Newton đã từ năm 1665, J. Gregory từ khi Mercator công bố năm 1668, Leibniz từ khoảng năm 1673, đều chủ yếu chuyên tâm vào đề tài của thời đại, tức là việc nghiên cứu các chuỗi lũy thừa. Nhưng, xét từ quan điểm phân loại các bài toán, tác dụng chính của các phương pháp mới dường như là xóa nhòa mọi phân biệt giữa chúng; và quả thật Newton, một nhà phân tích hơn là nhà đại số, đã không ngần ngại báo với Leibniz năm 1676 (XXII), p. 224) rằng ông biết cách giải mọi phương trình vi phân $^{15}$ ; Leibniz đáp lại ((XXII), p. 248-249) rằng ông, trái lại, quan tâm đến việc thu được nghiệm dưới dạng hữu hạn mỗi khi có thể “nếu giả sử các phép cầu phương”, và cũng muốn biết liệu mọi phép cầu phương có thể rút gọn về các phép của đường tròn và hypebol như người ta đã khẳng định trong phần lớn các trường hợp đã nghiên cứu hay không; nhân đây ông nhắc rằng Gregory tin rằng (một cách có lý, như ngày nay ta biết) rằng sự chỉnh phương của elip và hypebol không thể rút gọn về các phép cầu phương của đường tròn và hypebol; và Leibniz hỏi đến mức nào thì phương pháp chuỗi, như Newton sử dụng, có thể đưa ra lời đáp cho những câu hỏi này. Về phần mình, Newton ((XXII), p. 209-211) tuyên bố rằng ông có trong tay các tiêu chuẩn, mà ông không nêu ra, để quyết định, dường như bằng cách xem xét chuỗi, về “khả năng” của một số phép cầu phương nhất định (bằng những biểu thức hữu hạn), và đã cho một ví dụ (rất thú vị) về một chuỗi cho tích phân $\int x^a (1 + x)^b \, dx$ .

Người ta thấy sự tiến bộ to lớn đạt được trong chưa đầy mười năm: các câu hỏi phân loại đã được nêu ra trong những bức thư này bằng những thuật ngữ hoàn toàn hiện đại; nếu câu hỏi mà Leibniz nêu ra đã được giải quyết trong thế kỷ XIX $^{th}$ bởi lý thuyết tích phân Abel, thì câu hỏi kia, về khả năng rút gọn một phương trình vi phân cho trước về các phép cầu phương, vẫn còn bỏ ngỏ mặc dù đã có những công trình gần đây quan trọng. Nếu như vậy, thì đó là vì Newton và Leibniz, mỗi người theo cách riêng của mình, đã rút gọn các phép toán cơ bản của phép tính vi tích phân thành một thuật toán; chỉ cần viết, theo ký hiệu do người này hay người kia dùng, một bài toán cầu phương hay một phương trình vi phân, là cấu trúc đại số của nó liền xuất hiện ngay tức khắc, tách khỏi lớp vỏ hình học của nó; các phương pháp

15 Trong quá trình trao đổi thư từ, vốn không diễn ra trực tiếp giữa những người quan tâm, mà chính thức thông qua thư ký của Royal Society làm trung gian, Newton “đưa ra yêu sách ưu tiên của mình”, trình bày phương pháp của ông như sau: 5accdae 10effh 12i ...rrrssssstttuuu, một phép đảo chữ trong đó người ta thấy hàm chứa phương pháp nghiệm bằng một chuỗi lũy thừa với các hệ số chưa xác định ((XXII), p. 224).

“biến đổi” cũng có thể được viết bằng những thuật ngữ giải tích đơn giản; các bài toán phân loại được phát biểu một cách chính xác. Nói về mặt toán học, thế kỷ XVII $^{th}$ đã đi đến hồi kết.

E) Nội suy và phép tính sai phân. Chủ đề này (mà chúng ta không tách riêng việc nghiên cứu các hệ số nhị thức) đã xuất hiện sớm và kéo dài suốt thế kỷ, vì những lý do vừa lý thuyết vừa thực hành. Một trong những nhiệm vụ lớn của thời đại thực ra là việc tính các bảng lượng giác, logarit và hàng hải, điều được đòi hỏi bởi sự tiến bộ nhanh chóng của địa lý, hàng hải, thiên văn lý thuyết và thực hành, vật lý, cơ học thiên thể; và nhiều nhà toán học lỗi lạc nhất, từ Kepler đến Huygens và Newton, đã tham gia, hoặc trực tiếp, hoặc bằng những nghiên cứu lý thuyết về những phương pháp xấp xỉ hiệu quả nhất.

Một trong những bài toán đầu tiên, trong việc sử dụng và thậm chí cả việc chuẩn bị các bảng, là bài toán nội suy; và khi độ chính xác của các phép tính tăng lên, người ta nhận thấy vào thế kỷ XVII $^{th}$ rằng phương pháp nội suy tuyến tính cổ xưa mất hiệu lực khi các sai phân đầu tiên (các sai phân giữa những giá trị liên tiếp trong bảng) không còn có thể xem là hằng nữa; do đó người ta thấy Briggs, chẳng hạn $^{16}$ , sử dụng các sai phân cấp cao hơn, và thậm chí cấp khá cao, trong việc tính toán logarit. Về sau, ta thấy Newton ((XIX d) và (XX), Quyển III, Bổ đề 5) $^{17}$ và J. Gregory ((XVII bis), p. 119-120), mỗi người một cách riêng, tiến hành song song nghiên cứu của họ về nội suy và về các chuỗi lũy thừa; hơn nữa, cả hai đã đi đến, bằng những phương pháp khác nhau, một mặt là công thức nội suy bằng đa thức, được gọi là "Newton", và mặt khác là chuỗi nhị thức ((XVII bis), p. 131; (XXII), p. 180) và các khai triển chuỗi lũy thừa chính của giải tích cổ điển ((XVII bis); (XIX a and d) và (XXII), p. 179-192 và 203-225); hầu như không còn nghi ngờ rằng hai hướng nghiên cứu này đã tác động lẫn nhau, và cũng được liên kết mật thiết trong tâm trí Newton với việc phát hiện các nguyên lý của phép tính vô cùng bé. Mối quan tâm lớn đến công việc số thực hành xuất hiện ở Gregory cũng như ở Newton, trong phép dựng và việc sử dụng các bảng, trong phép tính số của các chuỗi và các tích phân; đặc biệt, mặc dù người ta không tìm thấy một chứng minh cẩn thận nào về sự hội tụ, thuộc loại như chứng minh của Lord Brouncker được trích dẫn ở trên, cả hai đều thường xuyên nhắc đến sự hội tụ của các chuỗi của họ từ quan điểm thực hành về khả năng thích hợp của chúng cho việc tính toán. Đây cũng là cách ta thấy Newton, để trả lời một câu hỏi do Collins đặt ra vì các mục đích thực hành $^{18}$ , áp dụng phương pháp tính tổng Euler-Maclaurin được gọi như vậy vào việc tính gần đúng $\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{n+p}$ với các giá trị lớn của N.

Người ta cũng gặp từ khá sớm việc tính các giá trị của một hàm xuất phát từ các sai phân, được dùng như một quy trình thực hành cho phép tính tích phân, và thậm chí, có thể nói, cho việc lấy tích phân một phương trình vi phân. Như vậy Wright, vào năm 1599, đã, nhằm với mục đích lập các bảng hàng hải, giải một bài toán mà ta sẽ viết là

(16) H. Briggs, Arithmetica logarithmica, London, 1624, chap. XIII.

(17) Xem thêm D.C. Fraser, Newton's Interpolation Formulas, Journ. Inst. Actuaries, v. 51 (1918), p. 77-106 and p. 211-232. và v. 58 (1927), p. 53-95 (các bài báo được in lại thành một tập sách nhỏ, London (không ghi năm)).

(18) Cf. St. P. Rigaud, Correspondence of scientific men ... Oxford, 1841, v. II, p. 309-310.

\frac{dx}{dt} = \sec t = \frac{1}{\cos t},

đã tiến hành bằng cách cộng các giá trị của sec $t$ , theo các khoảng liên tiếp một giây cung $^{19}$ , thu được một cách tự nhiên, về mọi mặt thực chất, một bảng các giá trị của log tan $(\pi/4 + t/2)$ ; và sự trùng hợp này, được nhận thấy kể từ việc tính các bảng đầu tiên của log tan $t$ , vẫn chưa được giải thích cho đến khi Gregory lấy tích phân của sec $t$ vào năm 1668 ((XVII c) và (XVII bis) p. 7 và 463).

Nhưng các vấn đề này cũng có một khía cạnh thuần túy lý thuyết và thậm chí số học. Ta hãy thống nhất ký hiệu bằng $\Delta' x_n$ các dãy sai phân liên tiếp của một dãy $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ , được định nghĩa bằng truy hồi nhờ $\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$ , và

\Delta' x_n = \Delta ({\Delta'}^{-1} x_n),

và ký hiệu bằng $S'$ phép toán nghịch đảo của $\Delta$ và các phép lặp của nó, tức là đặt $y_n = S.x_n$ nếu $y_0 = 0, \Delta y_n = x_n$ , và $S'.x_n = S({S'}^{-1} x_n)$ ; ta có $S' x_n = \sum_{p=0}^{n-r} \binom{n-p-1}{r-1} x_p$ ,

và, đặc biệt, nếu $x_n = 1$ với mọi $n$ , ta có $S.x_n = n$ , và các dãy $S^2 x_n$ và $S^3 x_n$ là các dãy số "tam giác" và "hình chóp" đã được các nhà số học Hy Lạp nghiên cứu từ trước, và nói chung $S^r x_n = \binom{n}{r}$ với $n \geq r$ (và $S' x_n = 0$ với $n < r$ ); các dãy này đã được đưa vào, từ quan điểm này, chắc chắn ngay từ thế kỷ XVI $^{th}$ ; chúng cũng tự xuất hiện trong các bài toán tổ hợp, những bài toán mà, hoặc tự thân, hoặc liên quan đến xác suất, đã đóng một vai trò khá lớn trong toán học thế kỷ XVII $^{th}$ , chẳng hạn, với Fermat và Pascal, rồi với Leibniz. Chúng cũng xuất hiện trong biểu thức của tổng các lũy thừa $m^{th}$ của N số nguyên đầu tiên, mà việc tính toán của nó, như ta đã thấy, là cơ sở cho việc lấy tích phân $\int x^m dx$ với $m$ là một số nguyên, theo phương pháp đầu tiên của Fermat ((XI), v. II, p. 83). Đây là cách Wallis đã tiến hành vào năm 1655 trong Arithmetica Infinitorum (XV a) mà không biết công trình (chưa công bố) của Fermat, và cũng vậy, theo lời ông, không biết đến phương pháp của các phần tử vô cùng nhỏ ngoại trừ qua việc đọc Torricelli; quả thật Wallis, nóng lòng muốn hoàn thành, đã không trì hoãn mình với những nghiên cứu tỉ mỉ: một khi đã đạt được kết quả cho các giá trị nguyên đầu tiên của $m$ , ông giả sử nó đúng "bằng quy nạp" với mọi $m$ nguyên, chuyển đúng sang trường hợp $m = 1/n$ với $n$ nguyên, rồi bằng một "quy nạp" còn sơ lược hơn cả lần đầu, sang $m$ hữu tỉ tùy ý. Nhưng sự quan tâm và tính độc đáo trong công trình của ông là ông đã dần dần vươn lên từ đó đến việc nghiên cứu tích phân "Euler" $I(m, n) = \int_0^1 (1 - x^{1/m})^n dx$ (trong đó giá trị, với $m$ và $n > 0$ là $\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)/\Gamma(m+n+1)$ ) và các tích phân tương tự khác, đã lập bảng các giá trị của $1/I(m, n)$ với các số nguyên $m$ và $n$ , chính là bảng của các số nguyên $\binom{m+n}{n}$ , và, bằng những phương pháp gần như đồng nhất với những phương pháp đó

19 Ed. Wright, Table of Latitudes, 1599 (cf. Napier Memorial Volume, 1914, p. 97).

mà ngày nay được dùng trong việc trình bày lý thuyết về hàm $\Gamma$ , đã kết thúc ở tích vô hạn của $\mathrm{I}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi / 4 = (\Gamma(\frac{3}{2}))^2$ ; ngoài ra, không khó để làm cho phương pháp của ông trở nên đúng đắn bằng các phép lấy tích phân từng phần và các thay đổi biến rất đơn giản, cũng như bằng việc xét $\mathrm{I}(m, n)$ với mọi giá trị thực của $m$ và $n$ , điều mà ông hầu như không thể nghĩ tới, nhưng phép giải tích Newton sẽ sớm làm cho có thể thực hiện được. Trong mọi trường hợp, chính sự "nội suy" do Wallis thực hiện đối với các số nguyên $\binom{m+n}{n}$ tới các giá trị không nguyên của $m$ (chính xác hơn là tới các giá trị có dạng $n = p/2$ , với $p$ là một số nguyên lẻ) đã làm điểm xuất phát cho Newton khi ông bắt đầu ((XXII), p. 204-206), dẫn ông trước hết đến việc nghiên cứu trường hợp riêng $(1 - x^2)^{p/2}$ , đến chuỗi nhị thức, rồi đến việc đưa vào $x^a$ (được ký hiệu như vậy) với mọi $a$ thực. và đến phép lấy đạo hàm của $x^a$ bằng chuỗi nhị thức; tất cả điều này mà không cần một nỗ lực lớn để thu được các chứng minh hoặc thậm chí các định nghĩa chặt chẽ; hơn nữa, một đổi mới đáng chú ý là từ sự hiểu biết về đạo hàm của $x^a$ ông đã suy ra $\int x^a \, dx$ với $a \neq -1$ ((XIX a) và (XXII), p. 225). Về phần còn lại, mặc dù ông đã sớm nắm được những phương pháp tổng quát hơn nhiều để khai triển thành chuỗi lũy thừa, chẳng hạn như phương pháp đa giác Newton được gọi như vậy (đối với các hàm đại số) ((XXII), p. 221) và phương pháp hệ số bất định, ông nhiều lần sau đó, với một sự ưu tiên nào đó, quay trở lại chuỗi nhị thức và các tổng quát hóa của nó; chẳng hạn, chính từ đó dường như ông đã suy ra sự khai triển của $\int x^a (1 + x)^{\beta} \, dx$ được đề cập ở trên ((XXII), p. 209).

Sự tiến hóa của các ý tưởng này trên lục địa, tuy nhiên, lại rất khác biệt, và trừu tượng hơn nhiều. Pascal đã đến gần Fermat trong việc nghiên cứu các hệ số nhị thức (từ đó ông đã lập và đặt tên cho "tam giác số học") và việc sử dụng chúng trong phép tính xác suất và phép tính sai phân; khi ông bắt tay vào phép lấy tích phân, ông đưa các ý tưởng tương tự vào đó. Giống như những người đi trước, khi sử dụng ngôn ngữ của các phần tử không phân chia được, ông quan niệm tích phân $F(x) = \int_0^x f(x) \, dx$ như là giá trị của tỉ số của "tổng tất cả các tung độ của đường cong"

S \left( f \left( \frac{n}{N} \right) \right) = \sum_{0 \leq p < N} f \left( \frac{p}{N} \right),

với "đơn vị" $N = \sum_{0 \leq p < N} 1$ khi $N = \infty$ ((XII b), p. 352-355) (hoặc, khi ông từ bỏ ngôn ngữ này để dùng ngôn ngữ đúng đắn của phép vét cạn, như giới hạn của tỉ số này khi $N$ tăng vô hạn). Nhưng, khi xét đến các bài toán mômen, ông nhận thấy rằng, khi xử lý các khối lượng rời rạc $y_i$ phân bố tại các khoảng cách bằng nhau, việc tính tổng khối lượng quay trở lại phép toán $S y_n$ đã được định nghĩa ở trên, và việc tính mômen quay trở lại phép toán $S^2 y_n$ ; và, bằng phép tương tự, ông lặp lại phép toán $\int$ để tạo thành cái mà ông gọi là "các tổng tam giác của các tung độ", tức là, theo ngôn ngữ của chúng ta, các giới hạn của các tổng $N^{-2} S^2 (f(n/N))$ , nghĩa là các tích phân $F_2(x) = \int_0^x F(x) \, dx$ ; một lần lặp mới cho ông các "tổng hình chóp" $F_3(x) = \int_0^1 F_2(x) \, dx$ . các giới hạn của $N^{-3} S^3 (f(n/N))$ ; ngữ cảnh cho thấy rằng không phải vì thiếu tính độc đáo trong tư duy hay ngôn ngữ mà ông dừng lại ở đây, mà chỉ vì ông dự liệu chỉ sử dụng những cái này, mà việc sử dụng có hệ thống chúng nằm ở cơ sở của một phần đáng kể các kết quả của ông, và đối với chúng ông đã ngay lập tức chứng minh các tính chất mà chúng ta sẽ viết là $F_2(x) = \int_0^x (x - u) f(u) du,\quad F_3(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x - u)^2 f(u) du$ ((XII b), p. 361-367); tất cả điều này mà không viết một công thức duy nhất, nhưng bằng một ngôn ngữ trong sáng và chính xác đến mức người ta có thể ngay lập tức chuyển nó thành các công thức như chúng ta vừa làm. Với Pascal, cũng như với những người đi trước ông, nhưng theo một cách rõ ràng và có hệ thống hơn nhiều, sự lựa chọn biến độc lập (luôn là một trong các tọa độ, hoặc nếu không thì là cung của một đường cong) được ngầm chứa trong quy ước xác định các điểm chia đều (mặc dù "vô hạn gần") của khoảng lấy tích phân; các điểm này, tùy trường hợp, hoặc nằm trên Ox hoặc trên Oy hoặc trên cung của đường cong, và Pascal luôn cẩn thận không để lại bất kỳ sự mơ hồ nào về chủ đề này ((XII b), p. 368-369). Khi ông phải thay đổi biến, ông thực hiện điều đó bằng một nguyên lý tương đương với việc nói rằng diện tích $\int f(x) dx$ có thể được viết $S(f(x_i) \Delta x_i)$ đối với mọi phép chia khoảng lấy tích phân thành các khoảng "vô hạn nhỏ" $\Delta x_i$ , bằng nhau hoặc không ((XII d), p. 61-68).

Như người ta thấy, chúng ta đã rất gần với Leibniz; và có thể nói rằng đó là một sự tình cờ may mắn khi ông, lúc muốn được nhập môn vào toán học hiện đại, đã gặp Huygens, người ngay lập tức trao cho ông các trước tác của Pascal ((XXII), p. 407-408); ông đã được chuẩn bị đặc biệt bởi những suy nghĩ của mình về giải tích tổ hợp, và chúng ta biết rằng ông đã nghiên cứu sâu sắc lĩnh vực này, điều được phản ánh trong œuvre của ông. Năm 1675, ta thấy ông chép lại định lý của Pascal được dẫn ở trên, dưới dạng $\mathrm{omn}(x \omega) = x.\mathrm{omn}\ \omega - \mathrm{omn}(\mathrm{omn}\ \omega)$ , trong đó $\mathrm{omn}\ \omega$ là một viết tắt của nguyên của $\omega$ lấy từ 0 đến $x$ , mà Leibniz, vài ngày sau đó, đã thay thế bằng $\int \omega$ (các chữ cái đầu của “summa omnium $\omega$ ” ) đồng thời với việc ông đưa vào $d$ để chỉ “hiệu” vô cùng nhỏ, hay như ông sắp gọi, vi phân ((XXII), p. 147-167). Quan niệm các “hiệu” này như những đại lượng có thể so sánh với nhau nhưng không với các đại lượng hữu hạn, tuy nhiên ông thường nhất lấy, tường minh hoặc không, vi phân $dx$ của biến độc lập $x$ làm đơn vị, $dx = 1$ (điều này tương đương với việc đồng nhất vi phân $dy$ với đạo hàm $dy/dx$ ), và lúc đầu đã bỏ nó khỏi ký hiệu của mình cho nguyên, do đó biểu thức này xuất hiện dưới dạng $\int y$ thay vì $\int y dx$ ; nhưng ông hầu như không chậm trễ đưa dạng sau vào, và giữ nó một cách có hệ thống một khi nhận thấy đặc trưng bất biến của nó đối với lựa chọn biến độc lập, điều giúp ông không phải luôn luôn ghi nhớ lựa chọn này ^20 ; và ông đã tỏ ra không ít hài lòng khi quay lại nghiên cứu Barrow, người mà cho đến lúc đó ông đã bỏ qua, khi nhận xét rằng định lý tổng quát về thay đổi biến, mà Barrow nhấn mạnh rất nhiều, suy ra ngay lập tức từ ký hiệu của chính ông ((XXII), p. 412). Hơn nữa, trong tất cả những điều này ông vẫn rất gần với phép tính sai phân, từ đó phép tính vi phân của ông được suy ra bằng một phép chuyển qua giới hạn mà dĩ nhiên ông phải mất nhiều công sức để biện minh một cách nghiêm ngặt; và trong những điều tiếp theo ông đã nhấn mạnh một cách có chủ ý rằng các nguyên lý của ông áp dụng tốt như nhau cho cái này và cái kia. Ông đã viện dẫn Pascal một cách rõ ràng, chẳng hạn, khi, trong thư từ của ông với

^20 "Tôi lưu ý rằng người ta phải chú ý không được bỏ qua dx ... một sai lầm thường xuyên mắc phải, và điều ngăn cản việc tiến lên, do bởi đó người ta tước mất ở các phần tử bất khả phân này, như dx ở đây, tính tổng quát của chúng ... từ đó nảy sinh vô số sự biến hóa và sự tương đương của các hình." ((XXI b), p. 233).

Johann Bernoulli ((XXI), v. III, p. 156), khi đề cập đến những nghiên cứu đầu tiên của mình, ông đã đưa ra một công thức từ phép tính sai phân là một trường hợp đặc biệt của công thức của Newton, và từ đó suy ra bằng “chuyển qua giới hạn” công thức $y = \sum_{1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{d^n y}{dx^n} \frac{x^n}{n!}$ (trong đó $y$ là một hàm triệt tiêu đối với $x = 0$ , và $d^n y / dx^n$ là các đạo hàm của nó tại giá trị $x$ của biến), một công thức tương đương với một công thức tương tự mà Bernoulli vừa mới truyền đạt cho ông ((XXI), v. III, p. 150) và (XXIV), v. I, p. 125-128), và công thức này được người sau chứng minh bằng các phép lấy nguyên từng phần liên tiếp. Công thức này, như người ta thấy, rất gần với chuỗi Taylor; và chính cùng một lập luận như của Leibniz, bằng chuyển qua giới hạn xuất phát từ phép tính sai phân, mà Taylor đã tìm lại vào năm 1715 để thu được “chuỗi của ông”, $^{21}$ tuy nhiên không sử dụng nhiều đến nó.

F) Người ta hẳn đã thấy rồi, ẩn trong sự tiến hóa được mô tả ở trên, sự đại số hóa dần dần của phép tính vô cùng nhỏ, nghĩa là sự rút gọn của nó thành một phép tính toán tử được trang bị một hệ thống ký hiệu đồng nhất mang tính chất đại số. Như Leibniz đã chỉ ra nhiều lần với sự sáng tỏ hoàn hảo ((XXI b) p. 230-233), vấn đề là thực hiện đối với giải tích mới điều mà Viète đã làm đối với lý thuyết phương trình, và Descartes đã làm đối với hình học. Để hiểu sự cần thiết của điều này, chỉ cần đọc vài trang của Barrow; không lúc nào người ta có thể xử lý mà không có trước mắt một hình đôi khi phức tạp, được mô tả tỉ mỉ từ trước; ông cần không ít hơn 180 hình cho 100 trang (Lect. V-XII) tạo thành phần cốt yếu trong công trình của ông.

Quả thật, khó có thể nói đến sự đại số hóa trước khi một đơn vị nào đó xuất hiện xuyên qua sự đa dạng của các biểu hiện hình học. Tuy nhiên, Grégoire de St. Vincent (IX) đã đưa vào trước đó (dưới tên gọi “ductus plani in planum”) một loại luật hợp thành, tương đương với việc sử dụng một cách có hệ thống các nguyên $\int_a^b f(x)g(x)\, dx$ , được xem như thể tích của các khối $a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x), 0 \leq z \leq g(x)$ ; nhưng ông còn rất xa mới rút ra được những hệ quả mà Pascal sau đó đã suy ra, như người ta đã thấy, từ việc nghiên cứu cùng một khối ấy. Wallis năm 1655, và Pascal năm 1658, mỗi người theo cách riêng của mình, đã tạo ra những ngôn ngữ mang tính chất đại số, trong đó, không viết bất kỳ công thức nào, họ đã soạn thảo những mệnh đề mà người ta có thể ngay lập tức chép thành các công thức của phép tính nguyên ngay khi đã hiểu được cơ chế. Ngôn ngữ của Pascal đặc biệt rõ ràng và chính xác; và, nếu người ta không hiểu tại sao ông từ chối sử dụng ký hiệu đại số, không chỉ của Descartes, mà ngay cả của Viète, thì người ta chỉ có thể khâm phục kỳ công mà ông đã thực hiện, và điều mà chỉ sự thông thạo ngôn ngữ của ông mới làm cho có thể.

Nhưng hãy để vài năm trôi qua và mọi thứ thay đổi. Newton là người đầu tiên nảy ra ý tưởng thay thế tất cả các phép toán mang tính chất hình học, của phép tính vô cùng nhỏ đương thời,

21 B. TAYLOR, Methodus Incrementorum directa et inversa, Lond., 1715. Đối với phép tính sai phân, Taylor tự nhiên có thể dựa vào các kết quả của Newton, được chứa trong một bổ đề nổi tiếng của Principia ((XX). Book III, bổ đề 5) và được công bố đầy đủ hơn vào năm 1711 (XIX d). Về ý tưởng chuyển qua giới hạn, dường như đó là đặc trưng Leibniz; và người ta khó mà tin vào tính độc đáo của Taylor ở điểm này nếu không biết bao nhiêu ví dụ từ mọi thời đại của những môn đồ không biết gì ngoài các trước tác của thầy và ân chủ mình. Taylor không viện dẫn cả Leibniz lẫn Bernoulli; nhưng cuộc tranh cãi Newton-Leibniz đang bùng lên dữ dội, Taylor là thư ký của Royal Society, và Sir Isaac là chủ tịch đầy quyền lực của hội này.

giải tích, bằng một phép toán giải tích duy nhất, là lấy đạo hàm, và bằng việc giải bài toán ngược; một phép toán mà dĩ nhiên phương pháp chuỗi lũy thừa cho phép ông thực hiện với sự dễ dàng hết sức. Mượn ngôn ngữ của ông, ta đã thấy rằng, với cái giả tưởng về một tham số “thời gian” phổ quát, ông gọi là “fluentes” các lượng biến như một hàm của tham số này, và các đạo hàm của chúng là “fluxions”. Dường như ông không gán cho ký hiệu một tầm quan trọng đặc biệt, và những người theo ông sau này còn ca ngợi việc không có một ký hiệu hệ thống như một ưu điểm; tuy nhiên, cho việc riêng của mình, ông sớm có thói quen ký hiệu fluxion bằng một dấu chấm, như vậy $dx/dt$ bằng $\dot{x}$ . $d^2 x/dt^2$ bằng $\ddot{x}$ , v.v. Về tích phân, dường như Newton, cũng như Barrow, chưa bao giờ hình dung nó ngoài tư cách một bài toán (tìm fluente khi biết fluxion, giải $\dot{x} = f(t)$ ), chứ không như một phép toán; hơn nữa ông không có tên cho tích phân, cũng không, hình như vậy, có một ký hiệu chuẩn (trừ đôi khi một bình phương, $\int \overline{f(t)}$ hoặc $\square f(t)$ cho $\int f(t)\,dt$ ). Có phải vì ông ngần ngại đặt tên và ký hiệu cho cái không được xác định theo một cách duy nhất, mà chỉ tới một hằng số cộng thêm? Vì không có văn bản nào, ta chỉ có thể đặt câu hỏi.

Cũng như Newton là người thực nghiệm, đúng đắn, thận trọng trong những chỗ táo bạo nhất của mình, Leibniz lại có tính hệ thống, là người khái quát hóa, nhà cải cách mạo hiểm và đôi khi khoe khoang. Từ thuở trẻ ông đã nuôi trong đầu ý tưởng về một “characteristic” hay ngôn ngữ ký hiệu phổ quát, vốn sẽ đối với toàn bộ tư tưởng nhân loại như ký hiệu đại số đối với đại số, trong đó mỗi tên hay dấu hiệu sẽ là chìa khóa cho mọi tính chất của cái được ký hiệu, và người ta không thể dùng đúng cách nó mà không nhờ đó suy luận đúng. Dễ coi một dự án như vậy là viển vông; nhưng không phải ngẫu nhiên mà tác giả của nó lại chính là người chẳng bao lâu nữa sẽ nhận ra và tách ra các khái niệm cơ bản của phép tính vi phân, và ban cho nó cái ký hiệu hơn hay kém dứt khoát của mình. Ở trên chúng ta đã chứng kiến sự ra đời của nó, và đã nhận thấy sự cẩn trọng mà Leibniz, dường như ý thức được sứ mệnh của mình, dùng để sửa đổi dần dần chúng nhằm bảo đảm tính đơn giản và trên hết là tính bất biến mà ông theo đuổi (XXI $a$ and $b$ ). Điều quan trọng cần nhận xét ở đây là quan niệm rõ ràng về $\int$ và về $d$ , về tích phân và về vi phân, như những toán tử nghịch đảo nhau, ngay từ khi ông đưa chúng vào (lúc đó ông còn chưa biết gì về các ý tưởng của Newton). Đúng là khi tiến hành theo cách này, ông không thể thoát khỏi sự mơ hồ vốn có của tích phân bất định, là điểm yếu của hệ thống ông, mà ông lướt qua khá khéo, như các hậu bối của ông. Nhưng điều gây ấn tượng, ngay từ lần xuất hiện đầu tiên của các ký hiệu mới, là thấy Leibniz lập tức bận rộn nêu các quy tắc sử dụng của chúng, tự hỏi liệu $d(xy) = dx\,dy$ ((XXII), p. 16-166) hay không, rồi tự trả lời là không, sau đó dần dần đi đến quy tắc đúng (XXI $a$ ), quy tắc mà về sau ông sẽ khái quát thành công thức nổi tiếng cho $d^n(xy)$ ((XXI), v. III, p. 175). Dĩ nhiên, vào lúc Leibniz còn lần mò như thế, Newton đã biết từ mười năm trước rằng $z = xy$ suy ra $\dot{z} = \dot{x}\,y + x\,\dot{y}$ ; nhưng ông chưa bao giờ buồn nói ra điều đó, vì không thấy ở đó gì khác hơn là một trường hợp riêng, không đáng đặt tên, của quy tắc lấy đạo hàm một quan hệ $F(x,\ y,\ z) = 0$ giữa các fluents. Trái lại, mối quan tâm chính của Leibniz không phải là làm cho các phương pháp của mình phục vụ việc giải những bài toán cụ thể như thế, cũng không phải ngay cả là suy ra chúng từ những nguyên lý nghiêm ngặt và bất khả xâm phạm, mà trên hết là thiết lập một thuật toán dựa trên sự thao tác hình thức của vài quy tắc đơn giản. Chính trong tinh thần đó ông đã cải tiến ký hiệu đại số bằng việc dùng dấu ngoặc, rằng ông dần dần chấp nhận $\log x$ hoặc $l_x$ cho logarit $^{22}$ , và rằng ông nhấn mạnh đến “phép tính mũ”, tức là sự xét một cách có hệ thống các hàm mũ $a^x, x^x, x^y$ , trong đó số mũ là một biến. Trên hết, trong khi Newton không đưa vào các fluxion bậc cao hơn ngoài chừng nào thật sự cần thiết trong từng trường hợp cụ thể, Leibniz từ sớm đã hướng tới việc tạo ra một “phép tính toán tử” bằng cách lặp lại $d$ và $\int$ ; dần dần nhận ra sự tương tự giữa phép nhân các số và phép hợp thành các toán tử trong phép tính của mình, ông đã với sự táo bạo đầy may mắn, chấp nhận ký hiệu số mũ để viết các lần lặp của $d$ , do đó viết $d^n$ cho lần lặp thứ $n^{th}$ ((XXII), p. 595 and 601 $^{23}$ , và (XXI), v. V, p. 221 and 378) và thậm chí $d^{-1},\ d^{-n}$ cho $\int$ và các lần lặp của nó ((XXI), v. III, p. 167); và ông thậm chí còn thử gán nghĩa cho $d^\alpha$ với mọi số thực tùy ý $\alpha$ ((XXI), v. II, p. 301-302, và v. III, p. 228).

Điều này không có nghĩa là Leibniz không quan tâm đến những ứng dụng của phép tính của mình, vì ông biết rõ (như Huygens thường nhắc lại với ông ((XXII), p. 599)) rằng chúng là phép thử; nhưng ông thiếu kiên nhẫn để đi sâu vào chúng, và trên hết ông tìm kiếm cơ hội để xây dựng những quy tắc tổng quát mới. Chính vì thế mà năm 1686 (XXI c) ông nghiên cứu độ cong của các đường cong và đường tròn tiếp xúc, để cuối cùng năm 1692 (XXI d) đi đến những nguyên lý tổng quát về tiếp xúc của các đường cong phẳng $^{24}$ ; và năm 1692 (XXI e) và 1694 (XXI f) ông trình bày những cơ sở cho lý thuyết các đường bao; đồng thời với Johann Bernoulli, ông thực hiện vào các năm 1702 và 1703 phép lấy tích phân các phân thức hữu tỉ bằng phân tích thành các phần tử đơn, nhưng trước hết theo một cách hình thức và chưa đánh giá đầy đủ những hoàn cảnh đi kèm với sự xuất hiện của các nhân tử tuyến tính phức ở mẫu số (XXI, g và h). Cũng chính theo cách ấy, vào một ngày tháng Tám năm 1697, khi suy nghĩ trong xe ngựa về những vấn đề của phép tính biến phân, ông nảy ra ý tưởng về quy tắc lấy đạo hàm theo một tham số dưới dấu $\int$ , và đầy nhiệt tình gửi ngay nó cho Bernoulli ((XXI, v. III, p. 449-454). Nhưng khi ông đi đến đó, những nguyên lý cơ bản của phép tính của ông đã được thiết lập từ lâu, và việc sử dụng chúng đã bắt đầu lan rộng: việc đại số hóa giải tích vô cùng bé đã là một sự thật hoàn tất.

G) Khái niệm hàm được đưa vào và làm sáng tỏ theo nhiều cách trong suốt thế kỷ XVII $^{th}$ . Toàn bộ động học dựa trên một ý tưởng trực giác, theo một nghĩa nào đó mang tính thực nghiệm, về các đại lượng biến thiên theo thời gian, tức là các hàm của thời gian, và chúng ta đã thấy cách từ đó người ta đi đến một hàm của một tham số, như xuất hiện ở Barrow, và, dưới

$^{22}$ Nhưng ông không có ký hiệu cho các hàm lượng giác, cũng không có ký hiệu (do thiếu ký hiệu cho $e$ ) cho "số có logarit bằng $x$ ". $^{23}$ ... "c'est à peu près comme si, au lieu des racines et puissances, on vouloit toujours substituer des lettres, et au lieu de $xx$ , ou $x^3$ , prendre $m$ , ou $n$ , après avoir déclaré que ce doivent estre les puissances de la grandeur $x$ . Jugés, Mons., combien cela embarasseroit. Il en est de mesme de $dx$ ou de $ddx$ , et les differences ne sont pas moins des affections des grandeurs indéterminées dans leur lieux, que les puissances sont des affections d'une grandeur prise à part. Il me semble donc qu'il est plus naturel de les désigner en sorte qu'elles fassent connoistre immédiatement la grandeur dont elles sont les affections." $^{24}$ Trước hết, ông đã phạm một sai lầm đặc biệt về điểm này, khi tin rằng "đường tròn tiếp xúc" (đường tròn tiếp xúc) có bốn điểm chung với đường cong tại điểm tiếp xúc; về sau, ông chỉ từ bỏ quan niệm này một cách khó khăn trước những phản đối của hai anh em Bernoulli ((XXI), v. III, p. 187-188, 201-202 and 207).

tên gọi fluent, cùng với Newton. Khái niệm về một "đường cong tùy ý" thường xuất hiện, nhưng hiếm khi được làm cho chính xác; có thể là nó thường được nghĩ tới dưới một dạng động học hoặc, ít ra, thực nghiệm, và không cho rằng cần thiết để một đường cong có thể được đặc trưng hóa hình học hay giải tích thì mới dùng làm đối tượng của lập luận; điều đó đã xảy ra, đặc biệt là (vì những lý do mà ngày nay ta hiểu rõ hơn) khi nói đến tích phân, chẳng hạn ở Cavalieri, Pascal và Barrow; người sau, khi lập luận về đường cong được xác định bởi $x = ct,\ y = f(t)$ , với giả thiết rằng $dy/dt$ phải tăng, thậm chí đã nói rõ rằng "không quan trọng" việc $dy/dt$ tăng "một cách đều đặn theo một luật nào đó, hay thậm chí một cách bất đều" ((XVIII), p. 191) nghĩa là, như ta sẽ nói, có thể hay không thể được định nghĩa giải tích. Đáng tiếc là ý tưởng sáng sủa và phong phú này, nếu được làm sáng tỏ thích đáng, sẽ tái xuất hiện trong thế kỷ XIX\textsuperscript{th}, lúc ấy không thể chống lại sự lẫn lộn do Descartes tạo ra, khi ông ta, trước hết, đã gạt khỏi "hình học" mọi đường cong không thể được định nghĩa giải tích một cách chính xác, và thứ hai, đã hạn chế các thủ tục được phép để tạo thành một định nghĩa như thế chỉ còn các phép toán đại số mà thôi. Đúng là, về điểm sau này, ông không được đa số những người cùng thời theo sau; dần dần, và thường bằng những đường vòng rất tinh tế, các phép toán siêu việt khác nhau, logarit, hàm mũ, các hàm lượng giác, các phép cầu phương, giải phương trình vi phân, chuyển qua giới hạn, tổng chuỗi, đã được thiết lập, mặc dù trong mỗi trường hợp không dễ chỉ ra chính xác thời điểm mà bước tiến đã được thực hiện; và hơn nữa, bước tiến đầu tiên thường bị tiếp theo bởi một bước lùi. Chẳng hạn đối với logarit, người ta phải coi như những mốc quan trọng sự xuất hiện của đường cong logarit ( $y = a^x$ hay $y = \log x$ tùy theo sự lựa chọn các trục), của đường xoắn ốc logarit, phép cầu phương của hyperbol, khai triển chuỗi của $\log(1 + x)$ , và ngay cả việc chấp nhận ký hiệu $\log x$ hay $l x$ . Về các hàm lượng giác, vốn theo một nghĩa nào đó vươn ngược về thời cổ đại, điều thú vị là nhận thấy rằng đường sin không phải trước hết xuất hiện như được xác định bởi một phương trình $y = \sin x$ , mà với Roberval ((VIII a), p. 63-65), như một "bạn đồng hành của cycloid" (tức là như một trường hợp của đường cong

v = R \left( 1 - \cos \frac{x}{R} \right)),

nghĩa là, như một đường cong phụ trợ có định nghĩa được dẫn xuất từ định nghĩa của cycloid. Để gặp khái niệm tổng quát về một biểu thức giải tích, ta phải tìm đến J. Gregory, người đã định nghĩa nó năm 1667 ((XVI bis), p. 413), như một đại lượng thu được từ những đại lượng khác bằng một chuỗi các phép toán đại số "hoặc bằng bất cứ phép toán nào có thể hình dung được"; ông đã cố gắng làm cho khái niệm này chính xác hơn trong lời tựa của mình ((XVI bis), p. 408-409), giải thích sự cần thiết phải thêm vào năm phép toán của đại số\footnote{Đó là bốn phép toán hữu tỉ, và việc khai căn bậc bất kỳ: J. Gregory chưa bao giờ ngừng tin vào khả năng giải các phương trình ở mọi bậc bằng căn thức.} một phép toán thứ sáu, mà xét cho cùng, chẳng qua là chuyển qua giới hạn. Nhưng những tư tưởng thú vị này chẳng bao lâu đã bị quên lãng, bị nhấn chìm trong dòng thác các khai triển chuỗi được Gregory, Newton, và những người khác phát hiện; và thành công phi thường của phương pháp sau cùng này đã tạo ra một sự lẫn lộn lâu dài giữa các hàm có thể được định nghĩa giải tích, và các hàm có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa.

Còn Leibniz, dường như ông vẫn theo quan điểm Descartes, được mở rộng bởi sự nối thêm tường minh các phép cầu phương, và bởi sự nối thêm hàm ẩn của những phép toán khác quen thuộc với giải tích thời ông: tổng các chuỗi lũy thừa, giải phương trình vi phân. Tương tự, Johann Bernoulli, khi ông muốn xét một hàm tùy ý của $x$ , đã đưa nó vào như "một đại lượng được tạo thành theo bất cứ cách nào bắt đầu từ $x$ và các hằng" ((XXI), v. II, p. 150), đôi khi nói rõ rằng đó là một đại lượng được tạo thành "theo cách đại số hoặc siêu việt" ((XXI), v. II, p. 324); và, năm 1698, ông đồng ý với Leibniz gọi một đại lượng như vậy là một "hàm của $x$ " ((XXI), v. III, p. 507-510 and p. 525-526) 26. Leibniz đã sớm đưa vào các từ "hằng", "biến", "tham số", và, nhân dịp các đường bao, ông đã tinh luyện khái niệm về một họ đường cong phụ thuộc vào một hay nhiều tham số (XXI e). Các vấn đề về ký hiệu cũng được làm sáng tỏ trong thư từ với Johann Bernoulli: ông này dễ dàng viết X hay $\xi$ , cho một hàm tùy ý của $x$ ((XXI), v. III, p. 531); Leibniz tán thành, nhưng cũng đề nghị $x^{-|1|}$ , $x^{-|2|}$ , nơi mà ta sẽ viết $f_1(x)$ , $f_2(x)$ ; và ông đề nghị, cho đạo hàm $dz/dx$ của một hàm $z$ theo $x$ , ký hiệu dx (trái với $dz$ , là vi phân) còn Bernoulli viết $\Delta z$ ((XXI), v. III, p. 537 and 526).

Như vậy, cùng với thế kỷ, thời kỳ anh hùng đã qua. Giải tích mới, với các khái niệm và ký hiệu của nó, đã được xác lập, dưới hình thức mà Leibniz đã trao cho nó. Những môn đệ đầu tiên, Jakob và Johann Bernoulli, đã là những đối thủ của bậc thầy trong các phát hiện, đi qua những miền phong phú mà ông đã chỉ cho họ con đường. Bộ luận thuyết đầu tiên về phép tính vi phân và tích phân được Johann Bernoulli viết trong các năm 1691 và 1692 27, nhằm phục vụ một hầu tước tỏ ra là một học trò lanh lợi. Hầu như không thành vấn đề rằng cuối cùng, năm 1693, Newton quyết định công bố một cái nhìn thoáng qua về các fluxion của mình một cách cực kỳ ngắn gọn ((XV), v. II, p. 391-396); nếu Principia của ông đã cung cấp nhiều điều để suy nghĩ trong hơn một thế kỷ, thì trên địa hạt vô cùng nhỏ ông đã bị bắt kịp, và ở nhiều điểm bị vượt qua.

26 Cho đến lúc đó, và ngay từ một bản thảo năm 1673, Leibniz đã dùng từ này như một chữ viết tắt để chỉ một đại lượng “remplissant telle ou telle fonction” đối với một đường cong, chẳng hạn độ dài của tiếp tuyến hoặc pháp tuyến (giới hạn bởi đường cong và O.x), hoặc thậm chí pháp tuyến phụ, tiếp tuyến phụ, v.v., do đó, nói tóm lại, là một hàm của một điểm biến thiên trên một đường cong, với một định nghĩa hình học-vi phân. Trong cùng bản thảo năm 1673, đường cong được giả sử xác định bởi một quan hệ giữa $x$ và $y$ , “donnée par une équation”, nhưng Leibniz nói thêm rằng “il n'importe pas que la courbe soit ou non géométrique” (nghĩa là, theo ngôn ngữ của chúng ta, đại số) (xem D. Mainke, Abh. Preuss. Akad. der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926).

27 Phần của chuyên luận này về phép tính nguyên chỉ được công bố vào năm 1742 ((XXIV), v. III, p. 385-558); phần đề cập đến phép tính vi phân chỉ mới được phát hiện lại và công bố gần đây (XXIV bis); quả thực, Marquis de l'Hôpital đã công bố nó bằng tiếng Pháp, được biên soạn lại đôi chút, dưới tên riêng của mình, như Bernoulli đã cay đắng nhận xét trong các thư gửi Leibniz.

Tuy nhiên, những điểm yếu của hệ mới vẫn hiện rõ, ít nhất là đối với chúng ta. Newton và Leibniz, trong một lần xóa bỏ truyền thống hai thiên niên kỷ, đã dành vai trò tiên quyết cho phép vi phân và quy phép tích phân chỉ còn là phép nghịch đảo của nó; phải mất cả thế kỷ XIX $^{th}$ , và một phần thế kỷ XX $^{th}$ , mới thiết lập lại được một sự cân bằng thích đáng, bằng cách đặt phép tích phân làm cơ sở cho lý thuyết tổng quát về các hàm của một biến thực và những mở rộng hiện đại của nó (xem các Ghi chú lịch sử trong Quyển về Phép tích phân). Sự đảo ngược quan điểm này cũng là nguyên nhân của vai trò quá mức, gần như độc quyền, được dành cho tích phân bất định, làm thiệt hại cho tích phân xác định, vốn đã thấy ở Barrow, và trên hết ở Newton và Leibniz: ở đây cũng vậy, thế kỷ XIX $^{th}$ phải đưa mọi thứ trở lại đúng chỗ. Cuối cùng, khuynh hướng đặc trưng của Leibniz đối với việc thao tác hình thức các ký hiệu tiếp tục được đẩy mạnh trong suốt thế kỷ XVIII $^{th}$ , vượt xa những gì các nguồn lực của giải tích vào thời đó có thể biện minh. Đặc biệt, phải thừa nhận rằng khái niệm vi phân của Leibniz, nói cho đúng, không có ý nghĩa; vào đầu thế kỷ XIX $^{th}$ nó rơi vào tình trạng bị mất uy tín, và chỉ từng bước mới được phục hồi; và, nếu việc sử dụng các vi phân cấp một đã được hoàn toàn hợp thức hóa, thì các vi phân cấp cao hơn, mặc dù rất hữu ích, cho đến ngày nay vẫn chưa thực sự được phục hồi địa vị.

Dù thế nào đi nữa, lịch sử của phép tính vi phân và tích phân, bắt đầu từ cuối thế kỷ XVII $^{th}$ , được chia thành hai phần. Một phần liên quan đến các ứng dụng của phép tính này, ngày càng phong phú, nhiều hơn và đa dạng hơn. Hình học vi phân của các đường cong phẳng, các phương trình vi phân, các chuỗi lũy thừa, phép tính biến phân được đề cập ở trên, được bổ sung bằng hình học vi phân của các đường cong lệch, rồi của các mặt, các tích phân bội, các phương trình vi phân riêng, các chuỗi lượng giác, việc nghiên cứu nhiều hàm đặc biệt và nhiều loại bài toán khác, mà lịch sử của chúng sẽ được trình bày trong các Quyển dành cho chúng. Ở đây chúng tôi chỉ xét những công trình đã góp phần hoàn thiện, đào sâu và củng cố chính các nguyên lý của phép tính vô cùng bé, xét về các hàm của một biến thực.

Từ quan điểm này, các chuyên luận lớn vào giữa thế kỷ XVIII $^{th}$ đem lại ít điều mới mẻ. Maclaurin ở Scotland $^{28}$ , Euler trên lục địa (XXV $a$ và $b$ ), vẫn trung thành với những truyền thống mà mỗi người là người kế thừa. Quả thực, người thứ nhất đã cố gắng làm sáng tỏ thêm một chút các khái niệm Newton $^{29}$ , trong khi người thứ hai, đẩy chủ nghĩa hình thức Leibniz đến cực điểm, bằng lòng, cũng như Leibniz và Taylor, để phép tính vi phân dựa trên một phép chuyển sang giới hạn rất mơ hồ xuất phát từ phép tính sai phân, một phép tính mà ông đã trình bày hết sức cẩn thận. Nhưng trên hết, Euler đã hoàn tất công trình của Leibniz bằng cách đưa vào ký hiệu vẫn còn được sử dụng ngày nay cho $e$ , $i$ , và các hàm lượng giác, và phổ biến ký hiệu $\pi$ . Mặt khác, mặc dù phần lớn thời gian ông không phân biệt giữa các hàm và các biểu thức giải tích, ông đã nhấn mạnh, à propos các chuỗi lượng giác và bài toán dây rung, sự cần thiết không hạn chế mình vào những hàm được xác định như vậy (và ông gọi chúng là “liên tục”), mà còn phải xét, khi trường hợp đòi hỏi, các hàm tùy ý, hay “gián đoạn”, được cho bằng thực nghiệm bởi một hay nhiều cung của một đường cong ((XXV c), p. 74-91). Cuối cùng, mặc dù điều này hơi vượt ra ngoài khuôn khổ của chúng ta, không thể không nhắc ở đây đến việc ông mở rộng hàm mũ lên mặt phẳng phức, từ đó ông thu được các công thức nổi tiếng liên hệ hàm mũ với các hàm lượng giác, cũng như định nghĩa logarit của một số phức; ở đó người ta tìm thấy được làm sáng tỏ một cách dứt khoát sự tương tự nổi tiếng giữa logarit và các hàm tròn nghịch đảo, hay, theo ngôn ngữ của thế kỷ XVII $^{th}$ , giữa các phép cầu phương của đường tròn và hyperbol, đã được Grégoire de St. Vincent nhận thấy, được Huygens và trên hết là Gregory làm cho chính xác, và cùng với Leibniz và Bernoulli, đã xuất hiện trong phép tích phân hình thức của

\frac{1}{1 + x^2} = \frac{i}{2(x + i)} - \frac{i}{2(x - i)}.

D'Alembert, trong khi đó, là kẻ thù của mọi thứ huyền bí trong toán học cũng như ở những nơi khác, đã, trong những bài báo đáng chú ý (XXVI), định nghĩa một cách rõ ràng nhất các khái niệm giới hạn và đạo hàm, và nhấn mạnh rằng về cơ bản đây là toàn bộ “siêu hình học” của phép tính vi phân. Nhưng lời khuyên sáng suốt này không có tác dụng ngay lập tức. Công trình đồ sộ của Lagrange (XXVII) là một nỗ lực xây dựng giải tích trên một trong những khái niệm đáng tranh luận nhất của Newton, tức khái niệm nhầm lẫn giữa khái niệm một hàm tùy ý và một hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa, rồi suy ra khái niệm phép lấy đạo hàm từ đó (bằng cách xét hệ số của số hạng cấp một trong chuỗi). Dĩ nhiên, một nhà toán học có tầm cỡ như Lagrange không thể không thu được những kết quả quan trọng và hữu ích ở điểm đó, chẳng hạn như (và theo một cách thực tế độc lập với điểm xuất phát vừa nêu) chứng minh tổng quát công thức Taylor với phần dư được biểu diễn dưới dạng một tích phân, và đánh giá nó bằng định lý giá trị trung bình; hơn nữa, công trình của Lagrange là nguồn gốc của phương pháp của Weierstrass trong lý thuyết hàm của một biến phức, cũng như của lý thuyết đại số hiện đại về các chuỗi hình thức. Nhưng, xét từ quan điểm mục đích trực tiếp của nó, công trình ấy biểu thị một sự thụt lùi hơn là một tiến bộ.

Trái lại, với các công trình giảng dạy của Cauchy (XXVIII), người ta lại đứng trên nền tảng vững chắc. Ông định nghĩa hàm về cơ bản như chúng ta làm ngày nay, mặc dù ngôn ngữ vẫn còn hơi mơ hồ. Khái niệm giới hạn, được xác định một lần cho tất cả, được lấy làm điểm xuất phát; các khái niệm hàm liên tục (theo nghĩa hiện đại) và đạo hàm được suy ra ngay lập tức, cùng với các tính chất sơ cấp chính của chúng: và sự tồn tại của đạo hàm, thay vì là một điều khoản của niềm tin, trở thành một vấn đề cần nghiên cứu bằng các phương pháp thông thường của giải tích. Thành thật mà nói, Cauchy hầu như không quan tâm đến điều này; mặt khác, nếu Bolzano, sau khi đi đến cùng những nguyên lý ấy, đã xây dựng một ví dụ về một hàm liên tục không có đạo hàm hữu hạn tại bất kỳ điểm nào (XXIX), thì ví dụ này không được công bố, và vấn đề chỉ được giải quyết công khai khi Weierstrass, trong một công trình năm 1872 (và trong khóa học của ông từ năm 1861) (XXXII), đưa ra lời giải.

Về phép lấy tích phân, công trình của Cauchy thể hiện sự trở lại với những truyền thống vững chắc của thời cổ đại và phần đầu của thế kỷ xvii, nhưng dựa trên những phương tiện kỹ thuật vẫn còn chưa đầy đủ. Tích phân xác định, trong một thời gian dài bị xếp xuống hàng thứ hai, lại trở thành khái niệm cơ bản, mà Cauchy đã dứt khoát sử dụng ký hiệu $\int_a^b f(x) \, dx$ do Fourier đề xuất (thay cho ký hiệu cồng kềnh $\int f(x) \, dx \left[ \begin{array}{c} x = b \\ x = a \end{array} \right]$ đôi khi được Euler sử dụng); và, để định nghĩa nó, Cauchy trở lại phương pháp vét cạn, hay như chúng ta gọi ngày nay, các “tổng Riemann” (mà tốt hơn nên gọi là các tổng Archimedes, hay các tổng Eudoxus). Đúng là thế kỷ XVII $^{th}$ chưa bao giờ cho rằng cần phải đưa khái niệm diện tích, vốn đối với họ ít nhất cũng rõ ràng như khái niệm một số thực vô tỷ, ra xem xét một cách phê phán; nhưng sự hội tụ của các tổng “Riemann” về diện tích dưới đường cong, dù chỉ đối với một đường cong đơn điệu hoặc từng đoạn đơn điệu, là một ý tưởng quen thuộc với tất cả các tác giả quan tâm đến tính chặt chẽ trong thế kỷ XVII, như Fermat, Pascal, Barrow; và J. Gregory, đặc biệt được chuẩn bị bởi những suy nghĩ của ông về phép chuyển qua giới hạn và sự quen thuộc với một dạng đã rất trừu tượng của nguyên lý “các khoảng lồng nhau”, thậm chí dường như đã soạn thảo một chứng minh cẩn thận, nhưng vẫn chưa được công bố ((XVII bis), p. 445-446), và có thể đã phục vụ Cauchy hầu như không cần thay đổi, nếu ông biết đến nó $^{30}$ . Thật không may cho Cauchy, ông tuyên bố chứng minh sự tồn tại của tích phân, tức là sự hội tụ của các “tổng Riemann”, đối với một hàm liên tục tùy ý; và chứng minh của ông, mặc dù đúng nếu dựa trên định lý về tính liên tục đều của các hàm liên tục trên một khoảng đóng, lại mất hết giá trị chứng minh do thiếu khái niệm này. Dirichlet dường như cũng không nhận thấy khó khăn này khi ông soạn những hồi ký nổi tiếng của mình về chuỗi lượng giác, vì ông dẫn định lý nói trên như là “dễ chứng minh” ((XXX), p. 136); đúng là, xét cho cùng, ông chỉ áp dụng nó cho các hàm bị chặn, từng đoạn đơn điệu; Riemann, thận trọng hơn, chỉ đề cập đến những hàm sau cùng này, khi cần sử dụng điều kiện cần và đủ của ông đối với sự hội tụ của các “tổng Riemann” ((XXXI), p. 227-271). Một khi định lý về tính liên tục đều được Heine chứng minh ( $cf. Gen. Top.$ , II, ghi chú lịch sử, p. 217), vấn đề tất nhiên không còn gây khó khăn nào nữa; và nó đã dễ dàng được Darboux giải quyết vào năm 1875 trong hồi ký của ông về phép lấy tích phân các hàm gián đoạn (XXXIII), một hồi ký trong đó ông tình cờ nhất trí về nhiều điểm với những nghiên cứu quan trọng của P. du Bois-Reymond, xuất hiện vào khoảng cùng thời gian. Kết quả là, lần đầu tiên, nhưng lần này một cách dứt khoát, người ta đã chứng minh tính tuyến tính của tích phân của các hàm liên tục. Mặt khác, khái niệm hội tụ đều của một dãy hoặc một chuỗi, được Seidel, cùng với những người khác, đưa vào năm 1848, và được Weierstrass sử dụng một cách hữu hiệu ( $cf. Gen. Top.$ , X, ghi chú lịch sử, p. 347), đã cho phép đặt một cơ sở vững chắc, mặc dù, đúng là, dưới những điều kiện hơi quá chặt chẽ, cho phép lấy tích phân từng số hạng của các chuỗi, và lấy đạo hàm dưới dấu $\int$ , trong khi chờ đợi các lý thuyết hiện đại mà chúng ta không cần bàn ở đây, và những lý thuyết này làm sáng tỏ các vấn đề ấy theo một cách tạm thời là dứt khoát.

Do đó chúng ta đã đạt đến giai đoạn cuối cùng của phép tính vi phân vô cùng bé cổ điển, giai đoạn được biểu thị bởi những Khảo luận lớn về Giải tích vào cuối thế kỷ XIX $^{th}$ ; theo quan điểm của chúng ta, quan điểm của Jordan (XXXIV) chiếm vị trí nổi bật nhất trong số

$^{30}$ Ít nhất đó là điều mà bản tóm tắt do Turnbull đưa ra từ bản thảo dường như chỉ ra.

chúng, một phần vì những lý do thẩm mỹ, nhưng cũng bởi vì, nếu nó tạo thành một sự trình bày tuyệt vời về các kết quả của giải tích cổ điển, nó báo trước giải tích hiện đại theo nhiều cách, và chuẩn bị con đường cho nó. Sau Jordan là Lebesgue, và người ta đi vào chủ đề của một Quyển khác của công trình hiện tại.

(I) Euclidis Elementa, 5 vol., éd. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883-88. (I bis) T. L. Heath, The thirteen books of Euclid’s elements ..., 3 vol., Cambridge, 1908. (II) Archimedis Opera Omnia, 3 vol., éd. J. L. Heiberg, 2e éd., Leipzig (Teubner), 1913-15. (II bis) Les Œvres complètes d’Archimède, trad. P. Ver Eecke, Paris-Bruxelles (Desclée-de-Brouwer), 1921. (III) Galileo Galilei, Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, 20 vol., Firenze (Barbera), 1929-39. (III bis) Discorsi e Dimonstrazioni Matematiche intorno à due nuoue scienze Attenti alla mecanica & i movimenti locali, del Signor Galileo Galilei Linceo, Filosofo e Matematico primario del Serenissimo Grand Duca di Toscana. In Leida, appresso gli Elsevirii, MDCXXXVIII. (IV) J. Neper, Mirifici logarithmorum canonis constructio, Lyon, 1620. (V) J. Kepler, Neue Stereometrie der Fäser, Ostwald’s Klassiker, n 165, Leipzig (Engelmann), 1908. (VI) B. Cavalieri: a) Geometria indivisibilibus continuorum quadam ratione promota, Bononiae, 1635 (2e éd., 1653); b) Exercitationes geometricae sex, Bononiae, 1647. (VII) E. Torricelli, Opere, 4 vol., éd. G. Loria et G. Vassura, Faenza (Montanari), 1919. (VII bis) E. Torricelli, in G. Loria, Bibl. Mat. (III), t. I, 1900, p. 78-79. (VIII) G. de Roberval, Ouvrages de Mathématique (Mémoires de l’Academie Royale des Sciences, t. III), Amsterdam, 1736: a) Observations sur la composition des mouvements, et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, p. 3-67; b) Epistola ad Torricellium, p. 363-399. (IX) P. Gregorii a Sancto Vincentio, Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni ..., 2 vol., Antverpiae, 1647. (X) R. Descartes, Œuvres, éd. Ch. Adam et P. Tannery, 11 vol., Paris (L. Cerf), 1897-1909. (X bis) R. Descartes, Geometria, trad. latine de Fr. van Schooten, 2e éd., 2 vol., Amsterdam (Elzevir), 1659-61.

(XI) P. FERMAT, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1891-1912: a) De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione ... Auctore M. P. E. A. S., t. I, p. 211-254 (trad. française, ibid., t. III, p.181-215); b) Methodus ad disquirendam maximam et minimam, t. I, p. 133-179 (trad. française, ibid., t. III, p. 121-156); c) De aequationum localium transmutatione et emendatione ad multimodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usus, t. I, p. 255-288 (trad. française, ibid., t. III, p. 216-240).

(XII) B. PASCAL, Œuvres, 14 vol., éd. Brunschvicg, Paris (Hachette), 1904-14: a) Lettre de A. Dettonville à Monsieur A. D. D. S. en lui envoyant la démonstration à la manière des anciens de l’égalité des lignes spirale et parabolique, t. VIII, p. 249-282; b) Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur de Carcavy, t. VIII, p. 334-384; c) Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets, t. IX, p. 3-45: d) Traité des sinus du quart de cercle, t. IX, p. 60-76.

(XIII) N. MERCATOR, Logarithmotechnia ... cui nunc accedit vera quadratura hyperbolae ... Londini, 1668 (reproduced in F. MASÈRES, Scriptores, Logarithmici ..., vol. I, London, 1791, p. 167-196).

(XIV) LORD BROUNCKER, The Squaring of the Hyperbola by an infinite series of Rational Numbers, together with its Demonstration by the Right Honourable the Lord Viscount Brouncker, Phil. Trans., v. 3 (1668), p. 645-649 (được in lại trong F. MASÈRES, Scriptores, Logarithmici ..., vol. I, London, 1791, p. 213-218).

(XV) J. WALLIS, Opera Mathematica, 3 vol., Oxoniae, 1693-95: a) Arithmeticca Infinitorum, t. I, p. 355-478.

(XV bis) J. WALLIS, LOGARITHMOTECHNIA NICOLAI MERCATORIS: discoursed in a letter written by Dr. J. Wallis to the Lord Viscount Brouncker, Phil. Trans., v. 3 (1668), p. 753-759 (reproduced in F. MASÈRES, Scriptores Logarithmici ..., vol. I, London, 1791, p. 219-226).

(XVI) CH. HUYGENS, Œuvres complètes, publiées par la Société Hollandaise des Sciences, 19 vol., La Haye (Martinus Nijhoff), 1888-1937: a) Examen de "Vera Circuli et Hyperboles Quadratura ...", t. VI, p. 228-230 (= Journal des Scavans, juillet 1668); b) Horologium Oscillatorium, t. XVIII; c) Theoremata de Quadratura Hyperboles, Ellipsis et Circuli ..., t. XI, p. 271-337; d) De Circuli Magnitudine Inventa ..., t. XII, p. 91-180.

(XVI bis) Christiani Hugenii, Zulichemii Philosophi, vere magni, Dum viveret Zelemii Toparchae, Opera Mechanica, Geometrica, Astronomia et Miscellanea, 4 tomes en 1 vol., Lugd. Batav., 1751.

(XVII) J GREGORY: a) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura ..., Pataviae, 1667; b) Geometriae Pars Universalis, Pataviae, 1668; c) Exercitationes Geometricae, London, 1668.

(XVII bis) James Gregory Tercentenary Memorial Volume, chứa sự tương ứng của ông với John Collins và những bản thảo toán học chưa được công bố của ông . . . , ed. H. W. Turnbull, London (Bell and Sons), 1939.

(XVIII) I. Barrow, Mathematical Works, ed. W. Whewell, Cambridge, 1860.

(XVIII bis) Lectiones Geometricae: In quibus (praesertim) GENERALIA Curvarum Linearum SYMPTOMATA DECLARANTUR. Auctore Isaac Barrow . . . Londini . . . M.DC.LXX (= Mathematical Works, p. 156-320).

(XIX) I. Newton, Opuscula, t. I, Lausanne-Genève (M. M. Bousquet), 1744: a) De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, p. 3-26; b) Methodus fluxionum et serierum infinitarum, p. 29-199 (xuất bản lần thứ nhất 1736); c) De Quadratura curvarum, p. 201-244 (xuất bản lần thứ nhất 1706); d) Methodus differentialis, p. 271-282 (xuất bản lần thứ nhất 1711); e) Commercium Epistolicum, p. 295-420 (xuất bản lần thứ nhất 1712, tái bản lần thứ 2 1722).

(XX) I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Matematica, London, 1687 (ấn bản mới, Glasgow, 1871).

(XX bis) I. Newton, Mathematical principles of natural philosophy, and his System of the world, dịch sang tiếng Anh bởi A. Motte năm 1729, Univ. of California, 1946.

(XXI) G.W. Leibniz, Mathematische Schriften, biên tập C. I. Gerhardt. 7 tập, Berlin-Halle (Asher-Schmidt), 1849-63: a) Nova Methodus pro Maximis et Minimis . . . , t. V, p. 220-226 (= Acta Erud. Lips., 1684); b) De Geometria recondita . . . , t. V, p. 226-233 (= Acta Erud. Lips., 1686); c) Meditatio nova de natura Anguli contactus . . . , t. VII, p. 326-328 (= Acta Erud. Lips., 1686); d) Generalia de Natura linearum . . . , t. VII, p. 331-337 (= Acta Erud. Lips., 1692); e) De linea ex lineis numero infinitis . . . , t. V, p. 266-269 (= Acta Erud. Lips., 1692); f) Nova Calculi differentialis applicatio . . . , t. V, p. 301-306 (= Acta Erud. Lips., 1694); g) Specimen novum Analyseos . . . , t. V, p. 350-361 (= Acta Erud. Lips., 1702); h) Continuatio Analyseos Quadraturarum Rationalium, t. V, p. 361-366 (= Acta Erud. Lips., 1703).

(XXII) Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern, xuất bản bởi C. I. Gerhardt, t. I, Berlin (Mayer und Müller), 1899.

(XXIII) Jakob Bernoulli, Opera, 2 tập, Genève (Cramer-Philibert), 1744.

(XXIV) Johann Bernouilli, Opera Omnia, 4 tập, Lausanne-Genève (M. M. Bousquet), 1742.

(XXIV bis) Johann Bernouilli: Die erste Integralrechnung, Ostwald’s Klassiker, n 194, Leipzig-Berlin, 1914; Die Differentialrechnung, Ostwald’s Klassiker, n 211, Leipzig, 1924;

(XXV) L. Euler, Opera Omnia: a) Institutiones calculi differentialis, (1) t. X, Berlin (Teubner), 1913; b) Institutiones calculi integralis, (1), t. XI-XIII, Berlin (Teubner), t. 1, 1913-14; c) Commentationes analyticae . . . (1), t. XXIII, Berlin-Zürich (Teubner-O. Füssli), 1938.

(XXVI) J. d’Alembert: a) Sur les principes métaphysiques du Calcul infinitésimal (Mélanges de littérature, d’histoire et de philosophie, ấn bản mới, t. V, Amsterdam, 1768, p. 207-219); b) Encyclopédie, Paris, 1751-65, các bài “Différentiel” và “Limite”. (XXVII) J.-L. Lagrange, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867-1892: a) Théorie des fonctions analytiques, ấn bản lần thứ 2, t. IX; b) Leçons sur le calcul des fonctions, ấn bản lần thứ 2, t. X. (XXVIII) A.-L. Cauchy, Résumé des leçons données à l’École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, 1823 (= Œuvres complètes, (2), t. IV, Paris (Gauthier-Villars), 1899). (XXIX) B. Bolzano, Schriften, Bd. I: Funktionenlehre, Prag, 1930. (XXX) P. G. Lejeune-Dirichlet, Werke, t. I, Berlin (G. Reimer), 1889. (XXXI) B. Riemann, Gesammelte Mathematische Werke, ấn bản lần thứ 2, Leipzig (Teubner), 1892. (XXXII) K. Weierstrass, Mathematische Werke, t. II, Berlin (Mayer und Müller), 1895. (XXXIII) G. Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, Ann. E. N. S., (2) t. IV (1875), p. 57-112. (XXXIV) C. Jordan, Traité d’Analyse, ấn bản lần thứ 3, 3 tập, Paris (Gauthier-Villars), 1909-15.