Exercice 10, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 26

La suite $(a_k)_{k \geq 1}$ étant formée de nombres $> 0$ , on pose $s_n = nA_n = a_1 + \ldots + a_n$ . Pour $p < 1$ et $\lambda_k > 0$ , on a

\mu_1 s_1^{1/p} + \mu_2 s_2^{1/p} + \ldots + \mu_n s_n^{1/p} \leq \lambda_1 a_1^{1/p} + \lambda_2 a_2^{1/p} + \ldots + \lambda_n a_n^{1/p}

pourvu que

\mu_1 \geq \lambda_1

et, pour

k \geq 2

\mu_k = (\lambda_k^q + \delta_k^q)^{1/q} - \delta_{k+1}

, avec

q = p/(1-p)

\delta_k \geq 0

pour tout

k

\delta_{n+1} = 0

(méthode de l’exerc. 8). En particulier, on a les inégalités

\sum_{k=1}^n ((k-p)^{1/q} - k^{1/q}) s_k^{1/q} + n^{1/q} s_n^{1/q} \leq (1-p)^{1/q} \sum_{k=1}^n a_k^{1/q}

qui entraîne (avec

A_n = s_n/n

)

\sum_{k=1}^n A_k^{1/p} + \frac{n}{1-p} A_n^{1/p} \leq (1-p)^{-1/p} \sum_{k=1}^n a_k^{1/p}

(inégalité de Hardy améliorée);

\frac{1}{q} \sum_{k=1}^n (b_k - 1) A_k^{1/p} + n A_n^{1/p} \leq \sum_{k=1}^n a_k^{1/p} b_k^{1/p}

pourvu que

b_k \geq 1

pour tout

k

;

\alpha(a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2) \leq a_1^2 + (a_2 - a_1)^2 + \ldots + (a_n - a_{n-1})^2 + \beta a_n^2

si l’on a, pour un

\theta

tel que

0 \leq \varphi < \frac{\pi}{n}

\alpha = 2(1 - \cos \theta)

\beta = 1 - \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin n\theta}

. Cas où

\theta = \frac{\pi}{n+1}

; cas où

\theta = \frac{\pi}{2n+1}

Solution

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