Bài tập 10, § 1

Hàm số một biến thực, III

Dãy $(a_k)_{k \geq 1}$ được tạo thành từ các số $> 0$ , ta đặt $s_n = n A_n = a_1 + \cdots + a_n$ . Với $p < 1$ và $\lambda_k > 0$ , ta có

\mu_1 s_1^{1/p} + \mu_2 s_2^{1/p} + \cdots + \mu_n s_n^{1/p} \leq \lambda_1 a_1^{1/p} + \lambda_2 a_2^{1/p} + \cdots + \lambda_n a_n^{1/p}

với điều kiện $\mu_1 \geq \lambda_1$ và, với $k \geq 2$ , $\mu_k = \left( \lambda_k^q + \delta_k^q \right)^{1/\delta} - \delta_{k+1}$ , với $q = p/(1-p)$ , $\delta_k \geq 0$ với mọi $k$ , và $\delta_{n+1} = 0$ (phương pháp của bài tập 8). Đặc biệt, ta có các bất đẳng thức

\sum_{k=1}^n \left( (k-p)^{1/q} - k^{1/q} \right) s_k^{1/q} + n^{1/q} s_n^{1/q} \leq (1-p)^{1/q} \sum_{k=1}^n a_k^{1/q}

suy ra (với $A_n = s_n/n$ )

\sum_{k=1}^n A_k^{1/p} + \frac{n}{1-p} A_n^{1/p} \leq (1-p)^{-1/p} \sum_{k=1}^n a_k^{1/p}

(bất đẳng thức Hardy được tăng cường);

\frac{1}{q} \sum_{k=1}^n (b_k - 1) A_k^{1/p} + n A_n^{1/p} \leq \sum_{k=1}^n a_k^{1/p} b_k^{1/p}

với điều kiện $b_k \geq 1$ với mọi $k$ ;

\alpha(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) \leq a_1^2 + (a_2 - a_1)^2 + \cdots + (a_n - a_{n-1})^2 + \beta a_n^2

nếu

\alpha = 2(1 - \cos \theta)

và

\beta = 1 - \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin n\theta}

với một

\theta

sao cho

0 \leq \theta < \frac{\pi}{n}

Trường hợp khi $\theta = \frac{\pi}{n+1}$ ; trường hợp khi $\theta = \frac{\pi}{2n+1}$ .

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.