Exercice 17, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 27

Soit $f$ une fonction numérique définie dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$ , telle que pour tout système de trois points $x_1, x_2, x_3$ de $I$ satisfaisant à $x_1 < x_2 < x_3 < x_1 + \pi$ , on ait

f(x_1) \sin (x_3 - x_2) + f(x_2) \sin (x_1 - x_3) + f(x_3) \sin (x_2 - x_1) \geqslant 0.

Montrer que: a)

f

est continue en tout point de

I

, et admet en tout point de

I

une dérivée à droite et une dérivée à gauche finies; on a en outre

f(x) \cos (x-y) - f'_d(x) \sin (x-y) \leqslant f(y)

pour tout couple de points

x, y

I

tels que

|x-y| \leqslant \pi

; on a aussi l’inégalité analogue à (2) où on remplace

f'_d

par

f'_g

; enfin on a

f'_g(x) \leqslant f'_d(x)

pour tout

x \in I

. (Pour démontrer (2), faire tendre

x_2

vers

x_1

dans (1), en laissant

x_3

fixe, et obtenir ainsi une majoration de

\limsup_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

; puis faire tendre

x_3

vers

x_1

dans l’inégalité trouvée; en déduire l’existence de

f'_d(x)

et l’inégalité (2) pour

y > x

; procédés analogues pour les autres questions.) b) Réciproquement, si (2) a lieu pour tout couple de points

x, y

I

tels que

|x-y| \leqslant \pi

f

vérifie (1) dans

I

(considérer la différence

\frac{f(x_2)}{\sin (x_3 - x_2)} - \frac{f(x_1)}{\sin (x_3 - x_1)}

). c) Si

f

admet une dérivée seconde dans

I

, (1) est équivalente à la condition

f(x) + f''(x) \geqslant 0

pour tout

x \in I

\* Interpréter ces résultats en considérant la courbe plane définie par $x = \frac{1}{f(t)} \cos t$ , $y = \frac{1}{f(t)} \sin t$ (convexité par rapport à l’origine).

Solution

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