Bài tập 17, § 1

Cho $f$ là một hàm thực xác định trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$, và sao cho với mọi hệ gồm ba điểm $x_1, x_2, x_3$ của $I$ thỏa mãn $x_1 < x_2 < x_3 < x_1 + \pi$ ta có

(1)

Chứng minh rằng:

a) $f$ liên tục tại mọi điểm của $I$ và có một đạo hàm phải hữu hạn và một đạo hàm trái hữu hạn tại mọi điểm của $I$; hơn nữa,

(2) với mọi cặp điểm $x, y$ của $I$ sao cho $|x - y| \leqslant \pi$; cũng có một dạng tương tự của (2) trong đó thay $f'_d$ bằng $f'_g$; cuối cùng, ta có $f'_g(x) \leqslant f'_d(x)$ với mọi $x \in I$. (Để chứng minh (2), cho $x_2$ tiến đến $x_1$ trong (1), giữ cố định $x_3$, và do đó thu được một cận trên cho $\limsup_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$; sau đó cho $x_3$ tiến đến $x_1$ trong bất đẳng thức thu được; suy ra từ đó sự tồn tại của $f'_d(x)$ và bất đẳng thức (2) với $y > x$; tiến hành tương tự đối với các phần khác.)

b) Ngược lại, nếu (2) đúng với mọi cặp điểm $x, y$ của $I$ sao cho $|x - y| \leqslant \pi$, thì $f$ thỏa mãn (1) trên $I$ (xét hiệu $\frac{f(x_2)}{\sin(x_3 - x_2)} - \frac{f(x_1)}{\sin(x_3 - x_1)}$).

c) Nếu $f$ có đạo hàm cấp hai trên $I$, thì (1) tương đương với điều kiện

với mọi $x \in I$.

"Giải thích các kết quả này, xét đường cong phẳng được xác định bởi $x = \frac{1}{f(t)} \cos t,\ y = \frac{1}{f(t)} \sin t$ ("tính lồi đối với gốc tọa độ")."