Exercice 18, § 1

a) Montrer que, dans l’espace vectoriel des applications de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{C}$, les fonctions distinctes de la forme $x^n e^{ax}$ ($n$ entier, $a$ complexe quelconque) forment un système libre (raisonner par l’absurde, en considérant une relation entre ces fonctions ayant le plus petit nombre possible de coefficients $\neq 0$, et dérivan cette relation). b) Soit $f(X_1, X_2, \ldots, X_m)$ un polynôme par rapport à $m$ indéterminées, à coefficients complexes, tels que lorsqu’on substitue à $X_j$ la fonction $\cos \left( \sum_{k=1}^n p_{jk} x_k \right)$ pour $1 \leqslant j \leqslant r$, la fonction $\sin \left( \sum_{k=1}^n p_{jk} x_k \right)$ pour $r+1 \leqslant j \leqslant m$, où les $p_{jk}$ sont réels et les $x_k$ réels, on obtienne une fonction des $x_k$ identiquement nulle; montrer que la même identité a lieu lorsqu’on donne aux $x_k$ des valeurs complexes arbitraires (utiliser $a$).