Bài tập 18, § 1

a) Chứng minh rằng trong không gian vectơ các ánh xạ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{C}$, các hàm phân biệt có dạng $x^n e^{\alpha x}$ ($n$ là một số nguyên, $\alpha$ là số phức tùy ý) tạo thành một hệ tự do (lập luận bằng phản chứng, xét một quan hệ giữa các hàm này có số hệ số $\neq 0$ nhỏ nhất có thể, và lấy đạo hàm của quan hệ này).

b) Cho $f(X_1, X_2, \ldots, X_m)$ là một đa thức theo $m$ bất định, với các hệ số phức, sao cho khi thay hàm $\cos \left( \sum_{k=1}^n p_{jk} x_k \right)$ vào $X_j$ với $1 \leq j \leq r$, và hàm $\sin \left( \sum_{k=1}^n p_{jk} x_k \right)$ vào $r+1 \leq j \leq m$, trong đó các $p_{jk}$ là thực và các $x_k$ là thực, ta thu được một hàm không của các $x_k$ một cách đồng nhất; chứng minh rằng cùng đẳng thức đó vẫn đúng khi cho các $x_k$ các giá trị phức tùy ý (dùng a)).