Exercice 19, § 1

On sait (A, IX, § 10, exerc. 2) que, dans le plan complexe $\mathbf{C}^2$, le groupe des angles de droites pointées $A$ est isomorphe au groupe orthogonal $O_2(\mathbf{C})$, l’isomorphisme canonique faisant correspondre à l’angle $\theta$ la rotation d’angle $\theta$; on transporte au groupe $A$ la topologie de $O_2(\mathbf{C})$ (considéré comme sous-espace de l’espace $M_2(\mathbf{C})$ des matrices d’ordre 2 sur $\mathbf{C}$) par cet isomorphisme, ce qui fait de $A$ un groupe topologique localement compact; en outre l’application $\theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta$ est un isomorphisme du groupe topologique $A$ sur le groupe multiplicatif $\mathbf{C}^*$ des nombres complexes $\neq 0$, l’isomorphisme réciproque étant défini par les formules $\cos \theta = \frac{1}{2}(z + 1/z)$, $\sin \theta = \frac{1}{2i}(z - 1/z)$. Déduire de ces relations que tout homomorphisme continu $z \mapsto \varphi(z)$ du groupe additif $\mathbf{C}$ sur $A$, tel que les fonctions complexes $\cos \varphi(z)$, $\sin \varphi(z)$ soient dérivables dans $\mathbf{C}$, est défini par les relations $\cos \varphi(z) = \cos az$, $\sin \varphi(z) = \sin az$ ($a$ nombre complexe).