Bài tập 19, § 1

Người ta biết (A, IX, §10, Bài tập 2) rằng trong mặt phẳng phức $\mathbf{C}^2$ nhóm $A$ các góc của các đường thẳng có hướng là đẳng cấu với nhóm trực giao $\mathbf{O}_2(\mathbf{C})$, đẳng cấu chính tắc gắn góc $\theta$ với phép quay qua góc $\theta$; người ta chuyển tôpô của $\mathbf{O}_2(\mathbf{C})$ (được xem như một không gian con của không gian $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ các ma trận cấp 2 trên $\mathbf{C}$) sang nhóm $A$ bằng đẳng cấu này, do đó làm cho $A$ trở thành một nhóm tôpô compact địa phương;

hơn nữa, ánh xạ $\theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta$ là một đẳng cấu của nhóm tôpô A lên nhóm nhân $\mathbf{C}^*$ các số phức $\neq 0$, đẳng cấu nghịch đảo được xác định bởi các công thức $\cos \theta = \frac{1}{2}(z + 1/z)$, $\sin \theta = \frac{1}{2i}(z - 1/z)$. Suy ra từ các hệ thức này rằng mọi đồng cấu liên tục $z \mapsto \varphi(z)$ của nhóm cộng $\mathbf{C}$ lên A sao cho các hàm phức $\cos \varphi(z)$, $\sin \varphi(z)$) khả vi trên $\mathbf{C}$, được xác định bởi các hệ thức $\cos \varphi(z) = \cos az$, $\sin \varphi(z) = \sin az$ ($a$ là một số phức).