Exercice 25, § 1

Les fonctions méromorphes dans un disque ouvert $\Delta$ de $\mathbf{C}$ forment un corps $M(\Delta)$. Un sous-corps $F$ de $M(\Delta)$, tel que $u \in F$ implique $Du \in F$, est appelé un sous-corps différentiel de $M(\Delta)$. a) Pour tout polynôme $P(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ à coefficients dans $M(\Delta)$, montrer qu’il existe un disque ouvert $\Delta_1 \subset \Delta$ (non de même centre que $\Delta$ en général) et une fonction $f \in M(\Delta_1)$ vérifiant en tous les points $z \in \Delta_1$ où $f$ et les $a_j$ sont holomorphes, la relation

Si $F$ est un sous-corps de $M(\Delta)$ contenant les $a_j$, on dit que le sous-corps de $M(\Delta_1)$ engendré par $f$ et les restrictions à $\Delta_1$ des fonctions de $F$ est le corps $F(f)$ obtenu par adjonction à $F$ de la racine $f$ de $P$. Cet abus de langage ne cause pas de confusion parce que l’application de restriction $g \mapsto g|_{\Delta_1}$ de $F$ sur un sous-corps de $M(\Delta_1)$ est injective. Si $F$ est différentiel, il en est de même de $F(f)$.

EXERCICES

b) Pour toute fonction $a \in M(\Delta)$, montrer qu’il existe un disque ouvert $\Delta_2 \subset \Delta$ tel qu’il existe une fonction $g \in M(\Delta_2)$ vérifiant la relation $g'(z) = a(z)$ en tout point $z \in \Delta_2$ où $g$ et $a$ sont holomorphes. Si $F$ est un sous-corps de $M(\Delta)$ contenant $a$, on dit que le sous-corps $F(g)$ de $M(\Delta_2)$ engendré par $g$ et les restrictions à $\Delta_2$ des fonctions de $F$ est le corps obtenu par adjonction à $F$ de la primitive $\int a\,dz$. Si $F$ est différentiel, il en est de même de $F(g)$.

c) Pour toute fonction $b \in M(\Delta)$, montrer qu’il existe un disque ouvert $\Delta_3 \subset \Delta$ tel qu’il existe $h \in M(\Delta_3)$ vérifiant la relation $h'(z) = b(z)h(z)$ en tout point $z \in \Delta_3$ où $h$ et $b$ sont holomorphes et $\neq 0$. Si $F$ est un sous-corps de $M(\Delta)$ contenant $b$, on dit que le sous-corps $F(h)$ de $M(\Delta_3)$ engendré par $h$ et les restrictions à $\Delta_3$ des fonctions de $F$ est le corps obtenu par adjonction à $F$ de l’exponentielle de primitive $\exp(\int b\,dx)$. Si $F$ est différentiel, il en est de même de $F(h)$.

d) Pour tout sous-corps $F$ de $M(\Delta)$ et tout polynôme $P(X) = X^m + a_1X^{m-1} + \cdots + a_m$ à coefficients dans $F$, il existe un corps $K$ obtenu par adjonction successive à $F$ de racines de polynômes, tel que $K$ soit une extension galoisienne de $F$ et qu’on ait $P(X) = (X - c_1)\ldots(X - c_n)$ où les $c_j$ sont des fonctions méromorphes (dans un disque convenable) appartenant à $K$. Si $F$ est différentiel, on a $(\sigma.g)' = \sigma.g'$ pour tout $g \in K$ et tout élément $\sigma$ du groupe de Galois de $K$ sur $F$.*