Bài tập 25, § 1

Các hàm hữu tỉ phân trên một đĩa mở $\Delta$ trong $\mathbf{C}$ tạo thành một trường $M(\Delta)$. Một trường con F của $M(\Delta)$ sao cho $u \in F$ kéo theo $Du \in F$ được gọi là một trường con vi phân của $M(\Delta)$.

a) Với mọi đa thức $P(X) = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_m$ có các hệ số trong $M(\Delta)$, hãy chứng minh rằng tồn tại một đĩa mở $\Delta_1 \subset \Delta$ (nói chung không có cùng tâm với $\Delta$) và một hàm $f \in M(\Delta_1)$ thỏa mãn

tại mọi điểm $z \in \Delta_1$ nơi $f$ và các $a_j$ là chỉnh hình. Nếu F là một trường con của $M(\Delta)$ chứa các $a_j$ thì người ta nói rằng trường con của $M(\Delta_1)$ sinh bởi $f$ và các hạn chế xuống $\Delta_1$ của các hàm của F là trường $F(f)$ thu được bằng cách ghép thêm nghiệm $f$ của $P$ vào F. Sự lạm dụng ngôn ngữ này không gây ra sự nhầm lẫn vì ánh xạ hạn chế $g \mapsto g|_{\Delta_1}$ của F lên trường con $M(\Delta_1)$ là đơn ánh. Nếu $F$ là vi phân thì $F(f)$ cũng vậy.

b) Với mọi hàm $a \in M(\Delta)$, hãy chứng minh rằng tồn tại một đĩa mở $\Delta_2 \subset \Delta$ sao cho tồn tại một hàm $g \in M(\Delta_2)$ thỏa mãn quan hệ $g'(z) = a(z)$ tại mọi điểm $z \in \Delta_2$ nơi $g$ và $a$ là chỉnh hình. Nếu F là một trường con của $M(\Delta)$ chứa a thì người ta nói rằng trường con $F(g)$ của $M(\Delta_2)$ sinh bởi g và các hạn chế xuống $\Delta_2$ của các hàm của F là trường thu được bằng cách ghép thêm nguyên thủy $\int a\,dz$ vào F. Nếu $F$ là vi phân thì $F(g)$ cũng vậy.

c) Với mọi hàm $b \in M(\Delta)$, hãy chứng minh rằng có một đĩa mở $\Delta_3 \subset \Delta$ sao cho có một $h \in M(\Delta_3)$ thỏa mãn quan hệ $h'(z) = b(z)h(z)$ tại mọi điểm $z \in \Delta_3$ nơi $h$ và $b$ là các hàm chỉnh hình và $\neq 0$. Nếu $F$ là một trường con của $M(\Delta)$ chứa $b$, người ta nói rằng trường con $F(h)$ của $M(\Delta_3)$ sinh bởi $h$ và các hạn chế xuống $\Delta_3$ của các hàm của $F$ là trường thu được bằng cách ghép thêm vào $F$ hàm mũ của nguyên hàm $\exp (\int b\,dz)$. Nếu $F$ là vi phân, thì $F(h)$ cũng vậy.

d) Với mọi trường con $F$ của $M(\Delta)$ và mọi đa thức $P(X) = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_m$ có các hệ số trong $F$, có một trường $K$ thu được bằng cách ghép thêm vào $F$ một cách liên tiếp các nghiệm của các đa thức sao cho $K$ là một mở rộng Galois của $F$ và ta có $P(X) = (X - c_1) \ldots (X - c_m)$, trong đó các $c_i$ là các hàm phân hình (trên một đĩa thích hợp) thuộc $K$. Nếu $F$ là vi phân thì có $(\sigma.g)' = \sigma.g'$ với mọi $g \in K$ và mọi phần tử $\sigma$ của nhóm Galois của $K$ trên $F_*$