Exercice 27, § 1

Soient $F \subset M(\Delta)$ un corps différentiel contenant $\mathbf{C}$, $t$ une primitive ou exponentielle de primitive d’une fonction de $F$, et supposons $t$ transcendant sur $F$. D’autre part, soient $c_1, \ldots, c_n$ des éléments de $F$ linéairement indépendants sur le corps des nombres rationnels $\mathbf{Q}$; si alors $u_1, \ldots, u_n$ et $v$ sont des éléments du corps $F(t)$, et si

appartient à l’anneau $F[t]$, on a nécessairement $v \in F[t]$. En outre, si $t \in F$, on a nécessairement $u_j \in F$ pour $1 \leq j \leq n$; si $t'/t \in F$, il existe pour chaque $j$ un entier $v_j \geq 0$ tel que $u_j/t^{v_j} \in F$. (Décomposer les $u_j/u_1$ et $v$ en éléments simples dans une extension galoisienne convenable de $F$ et utiliser l’exerc. 26.)*