Bài tập 27, § 1

Cho $F \subset M(\Delta)$ là một trường vi phân chứa $\mathbf{C}$, và $t$ là một nguyên thủy hoặc một hàm mũ của một nguyên thủy của một hàm trong $F$, và giả sử rằng $t$ là siêu việt trên $F$. Hơn nữa, cho $c_1, \ldots, c_n$ là các phần tử của $F$ độc lập tuyến tính trên trường các số hữu tỉ $\mathbf{Q}$; do đó nếu $u_1, \ldots, u_n$ và $v$ là các phần tử của trường $F(t)$ và nếu

thuộc về vành $F[t]$, thì tất yếu $v \in F[t]$. Hơn nữa, nếu $t \in F$, thì tất yếu có $u_j \in F$ với $1 \leq j \leq n$; nếu $t'/t \in F$ thì với mỗi $j$ tồn tại một số nguyên $v_j \geq 0$ sao cho $u_j/t^{v_j} \in F$. (Phân tích $u'_j/u_j$ và $v$ thành các phần tử đơn giản trong một mở rộng Galois thích hợp của $F$ và sử dụng bài tập 26).*