Exercice 28, § 1

a) Soit $F \subset M(\Delta)$ un corps différentiel. On dit qu’un corps $F' \supset F$ est une extension élémentaire de $F$ s’il existe une suite finie

(1)

telle que pour tout $j \leq n-1$, on ait $F_{j+1} = F_j(t_j)$, où l’on a, ou bien $t_j' = a_j'/a_j$ pour un $a_j \neq 0$ dans $F_j$ (de sorte que l’on peut écrire $t_j = \log a_j$, ou bien $t_j'/t_j = a_j'$ pour un $a_j \in F_j$ (de sorte que $t_j = \exp(a_j)$). Une fonction élémentaire est une fonction qui appartient à une extension élémentaire de $\mathbf{C}(z)$ (corps des fonctions rationnelles sur $\mathbf{C}$). Par exemple, les fonctions

Arc sin $z$, $(\log z)^{\log z}$, $\left(1 - \exp\left(\frac{1}{\exp\left(\frac{1}{z}\right) - 1}\right)\right)^x$ ($x \in \mathbf{C}$)

sont des fonctions élémentaires.

b) Soit $a \in \mathbf{F}$ tel qu’il existe des éléments $u_j$ ($1 \leq j \leq m$) et $v$ d’une extension élémentaire $\mathbf{F}'$ de $\mathbf{F}$, et des constantes $\gamma_j \in \mathbf{C}$ ($1 \leq j \leq m$) tels que l’on ait

(*)

Montrer alors qu’il existe des éléments $f_j$ ($1 \leq j \leq p$) et $g$ de $\mathbf{F}$ et des constantes $\beta_j \in \mathbf{C}$ ($1 \leq j \leq p$) tels que l’on ait

(**)

(Se ramener par récurrence sur le nombre $n$ dans la suite (1) au cas où $\mathbf{F}' = \mathbf{F}(t)$. En modifiant les $u_j$, montrer d’abord qu’on peut supposer les $\gamma_j$ linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$. Lorsque $t$ est transcendant sur $\mathbf{F}$, utiliser l’exerc. 27 : si $t' = s'/s$ avec $s \in \mathbf{F}$, on a nécessairement $u_j \in \mathbf{F}$ et $c \in \mathbf{F}[t]$; en utilisant () et raisonnant par l’absurde, montrer qu’on on a nécessairement $v = at + b$ avec $a \in \mathbf{C}$ et $b \in \mathbf{F}$. Si $t'/t = r'$ avec $r \in \mathbf{F}$, montrer qu’en remplaçant $v$ par $v + k.r$ pour un entier $k \in \mathbf{Z}$ convenable, on peut encore supposer que $u_j \in \mathbf{F}$, $v \in \mathbf{F}[t]$; montrer par l’absurde que $v$ est de degré 0, donc $v \in \mathbf{F}$. Enfin, si $t$ est algébrique sur $\mathbf{F}$, plonger $\mathbf{F}'$ dans une extension galoisienne $\mathbf{K}$ de $\mathbf{F}$ et considérer les transformés de () par le groupe de Galois de $\mathbf{K}$ sur $\mathbf{F}$.)